普林斯顿 数学分析读本

isbn 9787115543844

这英文是 real analysis, 后缀是 all the tools you need to understand proofs

据说有视频课 calclifesaver.com

前言

实分析是第一门 讲究严格性 的数学教程

慢慢来 慢慢读 慢慢写 并仔细思考

1. 预备知识

引言

哦 作者也参考了 Walter Rudin的数学分析原理 第三版（这我之后也打算读一读）

数学家把 实分析称作“严格”的微积分，研究微积分的“合理性”

卧槽，这本书 相当于 Rudin的注解版伴读版！？

基础数学与逻辑

自然数 $\mathbb{N}$ 所有正整数不包括0, natural number

整数 $\mathbb{Z}$ 德语Zahlen

有理数 $\frac{m}{n}\in \mathbb{Q}; m,n \in\mathbb{Z},n\neq 0$, 商 Quotient

实数$\mathbb{R}$ 稍后定义, real number

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形式逻辑

• 两个命题同时为真或假，命题才等价
• 蕴含： A $\Rightarrow$ B, 如果A为真 则 B为真
• 当且仅当: $A \Leftrightarrow B$, 互相蕴含
• 否命题: $\neg$ 非 \neg
• 逆命题： 颠倒蕴含关系
• 逆否命题： $\neg B\Rightarrow \neg A$, 逆否命题和原命题 等价（同为真假）

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常用证明技巧

• 举反例 （用于证明 命题为假），并非每个连续函数可微, f(x)=|x|
• 证明 逆否命题
• 反证法： 证明($A\Rightarrow \neg B$) 为假
• 归纳法： 初始状态成立 + $对于< n的状态都成立 能推出 任意状态n成立$， 需要找到一个偏序性
  • 这另一个用处就是，猜结论证明法 就可以用
• 分两步直接证明：这里演示的是草稿纸倒推法+正向写（我还挺反感现在的这种 要不写“草稿纸”的部分的，我始终觉得草稿纸的部分应该属于证明的一部分

集合论

定义3.1 集合

• 一堆元素的集体，包含无穷多个元素的集合成为无限集

定义3.3 索引族

• 如果每一个$i\in I$都对应着一个集合$A_i$, 那么$\mathscr{A}=\lbrace A_i|i\in I \rbrace$ 就是索引集为$I$的集合A的索引族
• 例如 $A_i=\lbrace 1,2,i^2\rbrace$
  • $\mathscr{A}=\lbrace \lbrace 1,2,1 \rbrace ,\lbrace 1,2,4 \rbrace,\lbrace 1,2,9 \rbrace\cdots \rbrace$
  • 其中第一个 就是$\lbrace 1,2 \rbrace$ 只是书写冗余

定义3.5 子集，超集

• 通过元素关系定义的 $A\subseteq B$ ,$\forall x\in A \Rightarrow x\in B$
  • 特别的$\subset$表示$\subseteq$且$\neq$ 这念起来，写起来 看起来 是 subseteq =subset + eq, 但定义上，上面的subseteq更容易定义, 而很多时候数学家的写法 用的$\subset$ 但同时没有排除不等的可能，所以看到 subset也不一定是真子集，除非特别说明
• $\emptyset \subset A$ 任何集合包含空集，因为定义是通过元素来定义的，只要一个集合中所有元素属于另一个集合，而空集没有元素，也就满足
• 对于证明集合相等，常用的一个证明思路是 $A\subset B,B\subset A$来说明相等

定义3.8 区间

• 开区间
• 闭区间
• 半开区间
  • 这三个都是通过 不等式来定义的 例如 $[a,b]=\lbrace x\in \mathbb{R} | a \le x \le b \rbrace$
  • 注意到的是 在 数轴上因为只有左右，所以会有这种半开区间，对于二维平面或者更高维度的，一般研究的就是开区间 或 闭区间

定义3.10 交集，并集

• 这里定义是通过 元素的属于性质来定义的，交就是同时属于，并就是至少属于其中一个
• $\mathbb{Q}\cap \mathbb{R}=\mathbb{Q}$
• 性质：
  • $A\cap A=A=A\cup A$ 自己和自己
  • 交换律
  • 结合律
  • 特殊的 0点，也就是空集, $A\cap \emptyset = \emptyset, A\cup \varnothing= A$ , 在tex里面，似乎 零和斜线的是emptyset,而圆的是 varnothing
• 更复杂的性质
  • $(A\cap B)\subset A \subset (A\cup B)$ 一定理解上 交会变小的趋势，并有变大的趋势
  • $A\cup B=B \Leftrightarrow A\subset B$, 属于关系
  • $A\cap B=A \Leftrightarrow A\subset B$
  • $A\cup (\cap_i B_i)=\cap_i (A\cup B_i)$ 类似分配率
  • $A\cap (\cup_i B_i)=\cup_i (A\cap B_i)$ 类似分配率

定义3.15 补集

• $A^c=B \textbackslash A = \lbrace x\in B | x\not\in A\rbrace$
• $B\textbackslash(B\textbackslash A)=A$
• Augustus De Morgan 命令的 定理, 德摩根律
  • $\neg (A或B)\Leftrightarrow (\neg A)且(\neg B)$
  • $\neg (A且B)\Leftrightarrow (\neg A)或(\neg B)$
  • $(\cup A_i)^c=\cap (A_i^c)$
  • $(\cap A_i)^c=\cup (A_i^c)$

2. 实数

上确界

构造了一个$\mathbb{Q}$的超集$\mathbb{R}$ ，它的一个特点是有上确界

定理4.1 存在没有最小数的有理数子集，也存在没有最大数的有理数子集

• 我知道过程能证明这个命题
  • 但是 这对于 (0,1), 每个p, 取 p/2不是一样可以没有最小数吗? 总觉得哪里不对？？？？？

定义4.2 有序集

• 集合S, 顺序关系，记作 <, 满足性质：
  • 1. 任意两个S中元素，可比较，要么x < y,x=y,y < x 这3种一种
    • 自己和自己 x=x
  • 2. 传递性
• 集合+顺序 = 有序集
  • 其中 y < x 可以记作 x > y
  • $x \le y \Leftrightarrow \neg (x > y)$

定义4.3 最小值，最大值

• $A\subset B$ 且 最小最大值存在
  • $\min A\ge \min B$
  • $\max A\le \max B$
• 有些集合并不存在最小值最大值，例如 (0,1)

定义4.5 边界

• 有序集S,对于 $E\subset S$,如果存在$a\in S$,使得$\forall b \in E, b \le a$ , 那么a是$E$的上界,E是有上界的
  • 对称类似的的可以定义下界
  • 注意到的是，这里上界并不要求紧凑，例如2是(0,1)的上界，100也是(0,1)的上界， 1是[0,1]的上界(它同时属于其中)
  • $(0,+\infty)$没有上界
  • 更精确的写法是 E在S中有上界
• 回到前面的 问题 $A=(0,\sqrt{2})\cap \mathbb{Q},B=(\sqrt{2},+\infty)\cap \mathbb{Q}$,
  • 我们找不到一个有理数能 即是A的上界，又是B的下界，因为 根号2是无理数，也就是 有理数不能很好的切割
    • 感觉有点怪，因为你切割的点就是根号2,然后 4.1 对实数也成立，
    • 虽然书中给出的不是直接给的根号2，而是靠 $x^2$与$2$比大小得到的集合

定义4.7 上确界，下确界

• 上面只限制了 范围，但可选的太多了，一个是希望它能唯一“最简化”最接近化，
• 如果 S中的上界a满足，$\forall b < a,b\in S$ 且$b$不是E的上界，那么a称作上确界，最小上界，a = sup E
  • 类似定义下确界
  • 那么 这里 和上面最小最大值的问题一样，上确界 一定存在吗？
    • (-3,3) ,显然的直觉的，3是一个上确界，且$3\in \mathbb{Q}$
    • $A = \lbrace x | x^2 < 2, x\in \mathbb{Q}\rbrace$ 这样的$A$ 在$\mathbb{R}$中有上确界$\sqrt{2}$, 但是在$\mathbb{Q}$中没有上确界
    • 所以感觉是，一边在E内被向大了推，一边在E外向小了推，最后汇聚一点
    • {1/n} 的上下确界是0,1

定理4.9 存在于E中的上界 是 上确界

• 对称下确界同理，
• 证明：首先 上确界是上界，那么只需要证明比上确界小的（不一定在E中）都不是上界，显然小于当前值，而当前值在E中

定义4.10 ！！！有序集S,如果S的每一个有上界的非空子集E都在S中存在 supE, 那么称有序集具有 最小上界性

• $\mathbb{Q}$没有最小上界性
• 有的地方 完备性 = 最小上界性+最大下界性

定理4.12 有序集S, 有最小上界性

• 如果S具有最小上界性，那么S具有最大下界性
  • 证明：E的下界的集合 根据已知 有上界，这个上界 满足 下确界的性质，从而得证
• 等价的 $E\subset S$, $U$是E在S上的上界的集合, $\text{sup} E=\text{inf} U$ , 上确界 是 所有上界集合的下确界
• 对称的 定理4.13 上界集的下确界

实数域

$\mathbb{R}$作为实数域 有三个重要的特性

• 阿基米德性质
• $\mathbb{Q}$的稠密性
• 根的存在性

域 = 集合+ 两种运算(加法，乘法)

• 加法
  • 封闭
  • 交换
  • 结合
  • 单位元/零元
  • 逆元
• 乘法
  • 封闭
  • 交换
  • 结合
  • 单位元/零元 ， 注意在实数中 乘法的零元是1
  • 逆元，除了加法零元
• 分配率， x(y+z)=xy+xz
• 其它例子：例如 mod p的域里面，有带mod运算，只有 0~p-1的 新的加法乘法，的域

定义5.3 有序域

• F是域
• $\forall x,y,z\in F, y < z \Rightarrow x+y < x+z$
• $\forall x,y\in F, x>0,y>0 \Rightarrow xy > 0$
• 从而有一些常用不等式运算法则

定义5.4 实数

• $\mathbb{R}$ 具有最小上界性 且 包含$\mathbb{Q}$的有序域
• 有个 完备性（最小上界性，最大下界性）证明叫做 戴德金分割

定义5.5 阿基米德性质

• 对于任意$a > 0$,可以找到一个 自然数b，使得 ab任意大
  • 对于任意大的翻译是， $\forall a,v \in \mathbb{R}, a > 0,\exists b\in \mathbb{N},ab > v$
  • 特别的当a取1时，也就有$\forall v \in\mathbb{R}, \exists b\in\mathbb{N}b >v$
  • 这个性质 有理数也有（有理数更好证明因为可以表示称 n/m形式
  • 对于实数， $B=\lbrace bx | b\in \mathbb{N}\rbrace$, 如果 无限则证明完成，如果有上确界$c=\text{sup} B$, 根据上确界性质$c/2 < c$ 所以c/2不是上界，存在 $b_ix > c/2$，$2b_i x > c$ 而$(2b_i)\in \mathbb{N}$ 所以c不是上界

定义5.6 稠密性

• $\mathbb{Q}$在$\mathbb{R}$中稠密： 任意两个实数间至少存在一个有理数
  • $x,y\in \mathbb{R},x < y, \exists p\in \mathbb{Q}, x<p<y$
• 显然 R本身是稠密 $x < (x+y)/2 < y$
  • Q本身也是 稠密
  • N不稠密
• 稠密性 从至少存在一个保证了 存在无穷多个
  • 从而任何开区间/闭区间, a < b, (a,b),[a,b] 包含无穷多个 （$\cap \mathbb{Q}$也是)
• 证明：
  • 想法找 $x < n/m < y$ 那么 m足够大, 从而 y-x这段区间 能有一个切割点，那么 m = 10 ceil(1/(y-x)), 这样
    • 首先 x落在 $[i/m,(i+1)/m)$中（阿基米德性质），而 y一定不在 $[(i+1)/m,(i+2)/m]$中，从而 (i+1)/m是一个有理数，左闭右开是为了不要等于x
• 推论：无理数 在 R中稠密
  • 神奇的证明，$x < p < y$想找无理数p,特别的，$\sqrt{2} x < \sqrt{2} p < \sqrt{2}y$, 可以找有理数$\sqrt{2} p$ 通过上面的方法，从而除以$\sqrt{2}$就有了无理数稠密

定理5.8 R中根存在性

• $x\in \mathbb{R}, x >0, \exists a \in \mathbb{R}, a^n=x$ 且$a_0^n=a_1^n \Rightarrow a_0=a_1$ 实数中n次方正根 存在 且唯一
  • 唯一性，根据上面的 有序域 得到的 $0 < a_0 < a_1 \Rightarrow a_0^n=x < a_1^n=x$
  • 利用上确界 $E=\lbrace t\in \mathbb{R} | t>0, t^n < x\rbrace$ 我们希望证明的是 $(\text{sup} E)^n=x$
    • 首先 sup E存在，（非空( x/(x+1) )+有上界(x+1)+最小上界性( 完备性））
    • 那么只需要证明 它的n次方既不大于x也不小于x即可
    • $y^n < x \Rightarrow (y+\min(1,\frac{x-y^n}{n(y+1)^{n-1}}))^n < x$

定理5.9 开方运算满足分配率

• $\forall a,b\in \mathbb{R}, a,b > 0, \forall n\in \mathbb{N}, (ab)^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{1}{n}}b^{\frac{1}{n}}$
  • 证明 $()^n=ab=()^n()^n$

定义5.10 扩张的实数系

• $\mathbb{R}\cup \lbrace +\infty,-\infty \rbrace$
• 有一些四则运算，个别的没有约定值

复数与欧几里得空间

复数是二维实数+特殊运算

定义6.1 k维向量

• 顺序的 $(x_i)$,
• 相等当且仅当对应位置相等

定义6.2 复数

• 二维实向量，新的加法和乘法
• x+y=(a+c,b+d)
• xy=(ac-bd,ad+bc)
• $\mathbb{C}$

定义6.3 复数是一个域

• 加法 5条性质
  • 加法单位元(0,0)
  • 逆元(-a,-b)
• 乘法 五条性质
  • 乘法单位元(1,0)
  • 逆元 $(\frac{a}{a^2+b^2},\frac{b}{a^2+b^2})$
• 分配率
• 注意到 复数域的第二维度 全0,可以得到实数，那么复数域是域，实数域是它的子域
• 不满足 有序，不是有序域
• 其它写法 a+bi

定义6.4 复共轭

• z=a+bi
• a=Re(z)
• b=Im(z)
• $\bar{z}=a-bi$
  • 性质
  • $\overline{z+w}=\bar{z}+\bar{w}$
  • $\overline{zw}=\bar{z}\bar{w}$
  • $\overline{z}+\overline{w}=2a,\overline{z}-\overline{w}=2ib$
  • $z\overline{z} \ge 0$ 当且仅当$z=0$时取等号

定义6.6 绝对值 长度

• $|z|=+(z\bar{z})^{\frac{1}{2}}$

定理6.7 绝对值性质:

• $|z| \ge 0$当且仅当z=0时取等号
• $|\bar{z}|=|z|$
• $|zw|=|z||w|$ 这个用 长度与夹角的视角更显然
• $|Re(z)|\le |z|, |Im(z)|\le z$
• $|z+w|\le |z|+|w|$ 三角不等式

定理6.8 柯西-施瓦兹不等式

• $a_i,b_i\in \mathbb{C}$
• $|\sum_{i=1}^n a_ib_i|\le(\sum_{i=1}^n |a_i|^2)(\sum_{i=1}^n |b_i|^2)$
  • 证明：对于n进行归纳法

定义6.9 向量空间$\mathbb{R}^k$

• 定义加法和数量乘法
• 交换 结合 分配，构成向量空间
• 但不是域，没有定义 $\mathbb{R}^k\times \mathbb{R}^k\Rightarrow \mathbb{R}^k$ 的乘法
• 因为不是有序的 所以大于小于是无法定义，而 = 是可以定义的，特别的x=0表示所有它的坐标x_i=0

定义6.10 欧几里得空间

• $x,y\in \mathbb{R}^k$ 定义内积$x\cdot y=\sum_{i=1}^k x_iy_i$， 注意到这不是$\mathbb{R}^k\times \mathbb{R}^k\Rightarrow \mathbb{R}^k$ 而是$\mathbb{R}^k\times \mathbb{R}^k\Rightarrow \mathbb{R}$
• 范数 $|x|=+(\sum_{i=1}^k x_i^2)^{\frac{1}{2}}$
• 欧几里得空间=向量空间+内积定义+范数运算

定理6.11 范数性质

• $|x|\ge 0$ 当且仅当 x=0时等号成立
• 数量乘法 |ax|=|a||x|
• 内积 $|x\cdot y|\le |x||y|$
• 线性加 $|x+y|\le |x|+|y|$
  • 改写 $|x-z|\le |x-y|+|y-z|$
  • 改写 $|x-y|\ge |x|-|y|$

3. 拓扑学

双射

定义7.1 函数

• $f: A\to B$, A中每一个在B中找到 唯一 的对应元素
• $f: x\mapsto f(x)$ \mapsto
  • $A$定义域
  • $B$上域，陪域
  • 需要注意的的是，中文翻译里 这里的“域” ，和上面说的 “实数域“，”复数域“ 的”域“是完全不同的概念
    • 定义域 英文 domain of definition, 用的是domain, 有区域 区间的意思，因此区间也是domain
    • 而 实数域 中的域 对应的英文是filed, Field of Real Numbers, real number field
    • https://www.zhihu.com/question/23830155/answer/25796504
      • 台湾和日本的域都叫做体 ！？
• 例子 $A=B=\mathbb{R}$
  • $f:x\mapsto x^2$,
  • 会发现不同的x可能同样的x^2,B没有被映满
  • 另一方面，“同样的f”，可以$A=B=\mathbb{Z}$

定义7.2 像，值域

• 像$E\subset A$, 那么$f(E)=\lbrace f(x) | x\in E\rbrace$ 称作E的像
• 值域 = 定义域的像 = f(A)

定义7.5 原像

• 逆映射，注意到的是，这里逆映射可能不是函数（值不唯一）
• 写法上是 $f^{-1}(G)=\lbrace x | x\in A,f(x)\in G, G\subset B\rbrace$
  • 也就是这里 用$^{-1}$表示原像 而不是逆

定义7.7 函数的逆

• 感觉应该放在双射一起
• 那么也就是原像过程是唯一的，那么原函数就是可逆的
• 上面的 $x\to x^2$ 在$\mathbb{R}$上不可逆, 但是在 $\mathbb{R}^+$上可逆
• 另外的 这里情况都是R,在线性代数中也有不变子空间
• 有时写成$f^{-1}(x)$
  • 但是对于$f: A\to B, A\cap B=\varnothing$ 时，才会注意到$f^{-1}(y)$ 接受的应该是$B$的某个子集，只是有时A和B有重叠

定义7.9 映上

• 每个 B中的元素，的原像至少存在一个
• 称作 映上，满射，

定义7.11 单射

• 一个对一个：原像至多一个
  • 不是一一对应（一一对应是双射）

定义7.13 双射：

• 单射（原像至多一个）+满射（原像至少一个）
  • 原像恰有一个
  • 双射<=>可逆
    • $(f^{-1})^{-1}=f$ 原像的原像是f

定义7.17 复合函数

• $f:A\to B, g: B\to C$
• $g \circ f: A\to C, x \mapsto g(f(x))$
  • 对于可逆
  • $h^{-1} \circ h: x \mapsto x$
  • $h \circ h^{-1}: x \mapsto x$

可数性

定义8.1 等价关系

• 关系 g
• 自反: a g a 为真
• 对称性: a g b$\Rightarrow$ b g a
• 传递性: a g b, b g c 则 a g c
• 那么称这个关系 g是等价关系
  • 小于 没有自反性
  • 小于等于 没有 对称性
  • 同血缘关系 没有传递性，父亲与孩子，孩子与母亲
• 相等 显然是一种等价关系

定义8.3 势，基数

• $\sim$, $A \sim B \Leftrightarrow$ 存在$f: A\to B$且f是双射
  • A和B一一对应
  • A和B有相同的基数

定理8.4 势是等价关系

• 证明 利用双射复合称新的双射

定理8.5 有限集的势

• 个数相同的 势相同（这里依然没有定义具体的“值”，只是证明其相同），通过下标指标集

定义8.6 可数性

• 这中文翻译称可数总给人不好的感觉（觉得是有限），我觉得之前有教材的“可列性”翻译感觉更好）
• 任意集合 $A\sim \mathbb{N}$那么称$A$可数
  • 有限或可数 称为至多可数
  • 这玩意 似乎就是 实分析最开始最重要的一个结论，所有有理数可数，而所有无理数不可数
    • 以我思来想去之前看实分析的理解，就是我们需要排列方案，不光知道下标（自然数）能计算出值，又要知道值能反推下标（看起来是求原像的过程）
    • 然后 后续的例如把 整数可数，有理数可数，有限维有理数坐标可数，核心思想就是穿插排列（而这种穿插排列方案只需要存在性，不需要任何映射都是能有逆的，例如 $x\mapsto 2x$ 对于所有整数，会发现奇数没有被排列

定理8.7 势与可数性

• $A\sim B$, 那么A和B的可数性一致，利用等价关系，一个能等价到 自然数，那么都可以
• 8.8 $\mathbb{Z}$ 可数，

定义8.8 无限集

• 至少与它的一个真子集的势相等的集合，

定义8.10 不可数集

• $(0,1)$ 的所有实数 S
• 对于S的任意可数真子集E的映射方案，这里采用的 i,j同步对角法（康托尔对角法）
  • 也就是 取 s,其中s的小数i位 与 当前方案中第i个数的第i位不同，从而$s\in S,s\not \in E$, 所以S的任意可数子集是 真子集
  • 这种对角法对于有理数是失效的因为s是个无理数！？
• 让我们无法按顺序排列所有元素（任何一种排列方式，有元素遗留在外）

定义8.11 子集和超集的势

• $E\subset A$, 那么
• $A$至多可数=> E至多可数
• E不可数 => A不可数

推论8.12 $\mathbb{R}不可数$

• （0,1) 不可数 => $\mathbb{R}$不可数

定理8.13 可数集的可数并 可数

• 可数集沿着纵向放置，集合沿着横向放置
• 和有理数类似的想法，对角游走 可以给一个次序，或者说 按照 集合i的下标j,的i+j的从小到大重新排列
• 推论8.14 可数集的任意 可数并 可数
  • 这里没有强调可数并的顺序，但是我们可以给出顺序
  • 这13,14 都要可数并，注意并的“可数”

定理8.15 可数集的幂次 可数

• A可数,$A^n$ 是A中元素构成的全体n元组可数
• 例如二维有理数 $(a/b,n/m)$ 可数

定理8.16 有理数可数

• a/b => (a,b) 是 (Z,Z) 的子集
• 推论8.17 无理数集不可数
  • 反证 R+无理数 = 实数，否则实数可数

拓扑定义

定义 9.1 度量空间

• 集合X, 函数d: ${X}\times{X}\to \mathbb{R}$
• 距离, $d(p,q) \ge 0$ 等号成立当且仅当$p=q$
• 对称, $d(p,q) = d(q,p)$
• 三角不等式, $d(p,q)\le d(p,r)+d(r,q)$
• 那么称为 距离函数或度量
  • 例如二维平面
  • 常见的勾股定理 =$\sqrt{(x_0-x_1)^2+(y_0-y_1)^2}$
  • 只走直角的距离 =$|x_0-x_1|+|y_0-y_1|$
  • 都满足上面的性质
  • 所以三角不等式 另一个 奇怪的理解是，按照规定的移动规则，距离是这个规则下最短的移动代价
  • 对称性，有个小学题目叫做 家到学校 3段路上坡，下坡，平路，速度不同，如果用时间来作为距离的话，发现没有对称性
  • 另一方面，距离 变成了一个 不是理所当然的东西

定义9.3 有界集

• E是度量空间X的一个子集，如果X中存在一点q,使得q到E中任意一点的“距离”均小于某个固定的有限实数M,那么E是有界的
• $\exists q\in X,\exists M \in \mathbb{R} 使得\forall p\in E, d(p,q)\le M$ 那么$E\subset X$是有界的
• 注意到，有界的定义是在 度量空间中的，而上面 上下界的定义是 min / max 存在，
  • 那么如果特别的在R中 把 d(x,y)定义为=|x-y|，那么才和之前的有联系
  • 在 度量空间$\mathbb{R}$ 的$\mathbb{Q}$是无界的

定理9.5 有界集的并

• {A_i}是度量空间X的任意子集族，有限并$\cup_{i=1}^n A_i$也有界,
• 任意选点p, 对于A_i中的点p_i 有 d(p_i,p) <= d(m_i,p)+M_i， 等式右侧的值只有n个（有限个，且值有限）

定理9.6 有界 <=> 既有上界又有下界

定义9.7 邻域

• $N_r(p)=\lbrace q | q\in X,d(p,q) < r\rbrace$ , 度量空间中 到点p的距离小于r的点

定义9.9 极限点, 聚点，累积点

• $E\subset X$, $\forall r > 0, N_r(p)\cap E\neq \lbrace p\rbrace, \neq \varnothing$
• 点p的邻域有其它（非p）的点
  • 非极限点称为孤立点
• (0,1),[0,1]每个点都是 聚点，极限点
  • 其中 0,1 不是(0,1)的元素，同样是它的极限点
• 称作极限点，就像微积分最开始学极限，学连续时候的感觉一样，

定理9.11 极限点的邻域包含无穷多E中的点

• 反证易得，若存在r有限，那么有限可以排距离取min
• 推论9.12 有限集没有极限点

定义9.13 闭集

• 最常见的 是 [a,b] 而这里从 度量空间（新的距离概念，新的极限概念）定义了闭集
• 度量空间的X一个子集E 包含其所有极限点，那么就是闭集
  • $\lbrace p | p\in X,p 是E的极限点 \rbrace \subset E$
• 推论9.15 度量空间有限子集是闭集
  • 因为全是孤立点，没有极限点

定义9.16 稠密集

• $E\subset X$
  • $X\subset E\cup (E的极限点)$， 那么称E是稠密的
• 对于度量空间X的任意闭子集E,E在X中稠密当且仅当E=X
• 和前面的稠密不同，前面的稠密 在实数上 x < y中间找q,使得x < q < y
• 这两种“稠密”的定义下, $\mathbb{Q}$在$\mathbb{R}$中都是稠密的
• 在度量空间中稠密，也就是 任何 无理数 的 任何邻域 都有 有理数。（这比找有理数列趋于无理数更容易，）

定义9.19 内点

• $\exists r > 0, N_r(p) \subset E$， 点的某个邻域完全属于E， 那么$p$是$E\subset X$的内点
• 注意到 线段(0,1), 在 数轴上，度量空间R中，每个点都是内点。
  • 而同样的 $y=0,x\in(0,1)$ 在平面上 度量空间$R^2$中, 每个点都不是内点
• $[0,1]$的0和1不是内点

定义9.21 开集

• 度量空间X的子集E,的所有点都是该集合的内点
• $\forall p \in E,\exists r > 0, N_r(p) \subset E$
  • (0,1)是开集
• 注意的是这里和数轴上的开闭通过控制边界的点包不包含不同
  • 从而 开集 和 闭集 是可能有非空交的

定理9.23 邻域是开集

• 也就是证明 每个点能找到r, 三角不等式 + 半长 可证. 图9.1是在 d=勾股定理的时候的 特殊情况的感觉

定义 9.24 完备集

• 完备集 = 闭集 + 所有点都是极限点
  • 注意到 闭集=E 并 E的极限点；孤立点的极限点是空集，
  • 换句话说 极限点是所有点
  • [0,1]是完备集
  • $[0,1] \cup \lbrace 2\rbrace$ 是闭集 但不是完备集，（而这在数轴上不是闭区间

-	有界	极限点	闭集	完备集	内点	开集
空集$\varnothing$	1	无	1	1	无	1
单点集	1	无	1	否	与 度量空间X有关，对于通常R否，对于R中取整点	同内点判断
R中[a,b]	1	[a,b]	1	1	(a,b)	否
R中(a,b)	1	[a,b]	否	否	(a,b)	1
R中(a,b]	1	[a,b]	否	否	(a,b)	否

闭集和开集

定理 10.1 开集的补集

• X的子集E是开集，当且仅当 E的补集是闭集
• 在数轴上的开闭主要靠端点
• 而这里，开集闭集的定义完全看上去是不相关的
  • 闭集=E的极限点（点的任意邻域有点）都属于E
  • 开集=E的点全是内点（点的邻域全属于E）
  • 这两个虽然 分别依靠 极限点和内点，但还好再多挖一部，就都和“邻域”有关
  • $E^c 闭$，$\forall x\in E$, $x\not\in E^c极限点$, $x$存在邻域不包含$E^c$的点，全是$E$的点, E是开集
• 推论10.2
  • 闭集的补集是开集

定理10.3

• 一组任意开集的并 是开集，采用原来的邻域易证属于 并
• 一组任意闭集的交 是闭集，证明 交的极限点 都属于新的闭集，（注意原来的极限点可能还存在但是交后变为孤立点，例如[0,1] 交 [1,2]）

定理10.4

• 比上面多了”有限”
• 开集有限交 是开集，例如 (-1/n,1/n)的无限交 得到{0} 闭集
• 闭集有限并 是闭集，例如 [0,1-1/n] 无限交是 [0,1)
• 有限性是关键，关键在于邻域的概念
  • 例如 交 需要点全是内点，内点需要存在邻域全属于，而存在邻域就是存在r > 0，有限时，可以取min r, 而 1/n 这种无限时，它的“下确界（最贴近的下界）”不属于集合 { 1/n }，这里的无限破坏了可取性
  • 对于 并，那就是 新的极限点 是其中任何一个的极限点，反证法能 min r_i找到
• 而10.3 不需要有限性，是因为 不需要进行这种 min的处理，也就是无穷数列求min/max 趋于上下确界（如果存在），而上下确界不一定属于原来的集合，从而破坏了这种（保持性质）

定义10.5 闭包

• 度量空间X的子集E的所有极限点集合记作 E’, E的闭包$\bar{E}=E\cup E’$
• 闭包是闭集
  • 我们注意到 E’是E的所有极限点，那么 E的闭包根据 定义 包含了E的所有极限点.
  • 那么问题是，有没有可能 $(E\cup E’)’ \not \subset (E\cup E’)$ 也就是 闭包有了新的极限点，而新的极限点还不属于闭包
  • 这里用的是 开集闭集互补+邻域定义去证明
    • $\bar{E}^c=(E\cup E’)^c$ 是开集
    • $\forall p\in \bar{E}^c$ 那么p不属于E也不是E的极限点，存在r 与E交为空，如果能和E’交也为空 即是内点
      • 如果任意r 交E’ 非空，那么E’的对应点因为是极限点，在r内能找到E中的点，从而 对于任意r, 三角不等式 2r内能找到E的点，则 这个点也是极限点，应该属于E’, 反证法知道
• 推论10.8 X的任意子集E, $E=\bar{E}$ 当且仅当E是闭集
• 推论10.9 闭包是每个闭超集的子集
  • $E\subset F \subset X$, $F$是闭集, 那么$\bar{E}\subset F$
  • 根据上面闭包定义 E闭包多出来的点都是E的极限点，这个也就是在说，闭包的子集的极限点一定在闭包内，这就显然的因为E的极限点也是F的极限点 $E’\subset F’$

定理10.10 闭包中的实数，上确界和下确界

• 下确界对称同理
• $E\subset \mathbb{R}$ 非空有上界E, $\text{sup}E\in \bar{E}$
  • 实数上也可能有孤立点 和 不连续多段，所以 这里右边是闭包而不是 极限点或其它
• 推论, $\mathbb{R}$中任意一个有上界E,如果E是闭集，那么 $\text{sup} E\in E$

定义10.12 相对开集

• E是一个集合. 如果对于任意$p\in E$存在$r > 0$使得$q\in Y$且$d(p,q) < r \Rightarrow q\in E$, 那么集合E相对于Y是开集
• 和开集定义类似，不同的是这里多了一个Y
  • 之前是 邻域 属于E
  • 现在是 邻域与Y的交 属于E
  • 例如二维平面一条不含端点的线段 在二维平面不是开集，在一维对应直线中是开集

定理10.14 相对开集

• 度量空间$Y \subset X$， Y的子集E相对于Y是开集，当且仅当存在X的某个开子集G,使得 $E=Y\cap G$
• 每个Y的相对开子集，都可以表示为X的开集G和Y的交
• E=交 => E在G中存在邻域 全属于G，也就 邻域交Y 属于 G交Y，是相对开集
• 是相对开集 => E每个点p存在$r_p$, X中邻域交Y属于E是开集，考虑把这些X中的邻域并起来，开集任意并是开集所以构造出了G

类似的

定义10.15 相对闭集

• $p\in Y$, 且p是E的极限点，那么$p\in E$,那么E相对于Y是闭集, 书上符号是不是还用错了？
• $E=[1,2)$ 在$Y=[0,2)$中是闭集

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一点感受，这里拓扑定义 这么多吗，开集闭集来来回回，感觉核心的就两点 1. 度量空间（距离）, 2 邻域r存在性，从而导出/新定义的一系列的东西

紧集

实分析中不可或缺的部分

定义11.1 开覆盖

• $E\subset X$
• $E$的开覆盖是一族集合{G_a},其中每个$G_a$都是相对于X的开集，并且E包含在这些集合的并中
  • $\forall a, G_a相对于X是开集, E\subset \cup_a G_a$ 那么 称 {G_a}是E的一个开覆盖
• E的开覆盖 的有限子覆盖是由 {G_a}中有限多个集合组成的一族集合，并且E仍包含在这有限多个集合的并中
  • $n\in\mathbb{N}, E\subset \cup_{i=1}^n G_{a_i}$

定义11.3 紧集

• K是度量空间X的一个子集，如果K的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，那么K就是紧集
• $\forall K的开覆盖$ {G_a},存在 $a_1\cdots,a_n$使得 $K\subset \cup_{i=1}^n G_{a_i}$, 那么K是紧集
  • 1. 这里要 任意的开覆盖 都有，不是存在一个有限开覆盖
  • 2. 要的是 有限 子覆盖
• 先从简单开始
  • 空集一定是紧集，因为 任意开覆盖，选任意一个 空集是它的子集，是有限子覆盖
  • 单点集一定是紧集，因为 任意开覆盖，至少一个覆盖了它，选择那个覆盖了它的，是有限子覆盖
  • 有限个数点集一定是紧集，因为 任意开覆盖，每次选一个涵盖其中至少一点的集合，就变成归纳的子问题，从而构造出有限子覆盖

定理 11.5 开区间不是紧集

• (a,b) 可以用 {G_n}=(a+1/n,b-1/n) 来覆盖，它不存在有限子集也是开覆盖，其实注意到这和上面的 “开区间的任意并还是开区间”，“开区间有限交不一定是开区间”的 思路很像，但结论不像
• 这里的 无限并的感觉，就是在掰扯 先找点能找到n包含它，反的寻找顺序 先找n,那么能找到不属于这一段的点

任何度量空间是子集的闭子集（包含所有极限点），也是自己的开子集（全是内点）

定义11.6 相对紧

• 度量空间$Y\subset X$， Y的子集K相对于X是紧集，当且仅当K相对于Y是紧集
• 也就是 Y中的开覆盖可以扩展到X中的开覆盖，反过来X的开覆盖可以和Y求交得到Y中的开覆盖
  • 也就是定理10.14

定理11.7 紧子集是闭集

• 度量空间X的任意紧子集K,K是X中的闭集
• 证明：证明$X^c$是开集，也就是$\forall p\in X^c$, p是内点(存在 领域 在$X^c$中)
  • 对于任意点$p \in X^c$, $W_q=\lbrace N_{d(p,q)/3}(q) | q\in K\rbrace$ 是一个开覆盖，也就是 K中所有点q的邻域的并（而邻域的半径选择 是 p到q距离的1/3, 所以这样的是一个开覆盖
  • 因为紧集, 所以 $W_q$有有限子集，也就是有限多个$q_1,\cdots,q_n$ 以及它们的邻域，同样是开覆盖$W\subset \cup_{i=1}^n W_{q_i}$
  • 有限的好处就是 可以取min,max, 那么这个时候，我们的目标是p的邻域在$X^c$, 也就是 找半径=min d(p,q_i)/3, 显然在这样的半径下，所有q_i的邻域 的交为空, 从而证明了 任意p能找到全在X^c中的邻域，从而X^c是开集，从而X是闭集
  • 所以紧集的有限性 带来了 可以取min max,从而可以找到邻域 从而才有了全是内点

定理11.8 紧集的闭子集仍是紧集

• $K\subset X$,如果K是紧集，并且K的子集F相对于X是闭集，那么F也是紧集
• (F的任意开覆盖)+$F^c$ 是X的开覆盖, 也是K的开覆盖
  • K紧，所以有限开覆盖 覆盖K, 同时覆盖F,所以F的任意也有有限子开覆盖（如果选了$F^c$去掉就行，所以F也紧
• 推论11.9 闭集与紧集的交
  • $K\subset X$ ,如果K是紧，X的子集F相对于X是闭集，那么$F\cap K$也是紧集
  • 这个推论告诉我们，如果把紧集K嵌入到任何一个度量空间中，那么K与该度量空间中任何闭集的交都是紧集

定理11.10 紧集也是有界的

• 对于度量空间X的任意紧子集K,K在X中有界
  • 有界：存在点q,存在距离M,使得所有$d(q,p \in K) \le M$
• 证明 逆否命题：无界=>不是紧集
  • 无界: 任意点q,任意距离M,使得存在$d(p\in K,q) > M$
• 说半天 最后没有证明逆否命题，还是正向证明，取所有点的半径1的开覆盖，因为紧，所有存在有限，因为有限，所以距离最远两点的距离r, 三角不等式 1+r+1 能覆盖所有 p_1-q_i-q_j-p_2 的路径

定理11.11 紧集交集

• {K_a}是度量空间X中一族非空紧集，如果 任意 有限 交 非空，那么 所有的交 非空
• 这书上反例不够直接啊， 换一个：(0,1/n) 它不是紧集，它的任意有限交 非空，但是 它的所有交是空集
• 反证：如果所有交为空，
  • 那么 K_1 交 （其它所有的交）= 空集
  • K_1 属于 (其它所有的补（是开集） 的并)
  • K_1紧，所以存在 有限多个 其它补的并 覆盖了K_1
  • K_1 交，有限多个 其它的交= 空集
• 这里要求任意有限交为非空，推论让结构更简单“嵌套” $K_{n+1}\subset K_n$
  • 推论 11.12，嵌套非空紧集，的所有的交非空（马上就是闭区间套定理了）
  • 原来 俄罗斯套娃有名字 Olga,Galina,Anastasia

定理11.13 紧集中的极限点

• 紧集K中的任意一个无限子集E, E在K中至少有一个极限点
• 首先得是无限子集才有可能有极限点
• 反证：如果没有极限点
  • 对于K中每个点p，能找到$r_p$邻域交E 只有p（p属于E时）,或者为空（p不属于E时）
  • 从而 找到一个K的开覆盖（不考虑交E），而K紧，所有有有限开覆盖覆盖K,同时覆盖E,而每个开覆盖至多含一个E的点，从而E是有限的

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小总结:

• 紧集定义是 任意 开覆盖，有 有限 子覆盖
• 从而 在紧集条件下 向下推 运算关系，常见紧集=>闭集, 不是紧集=>开集，而中间证明的核心部分其实没有变，还是用的上面的 距离定义，邻域，有限才有min max 以及 距离三角不等式
• 但 这里似乎没有说 当证明是紧集以后，能有什么“用途和特别的性质”，就是有限开覆盖吗？

海涅-博雷尔定理

$\mathbb{R}^k$的子集是紧集 当且仅当 它即是闭集又是有界集

• 上面证明了 紧集 => 有界闭集
• 那么这里 是对于$\mathbb{R}^k$ 要证明 有界闭集 => 紧集
  • 反例 $(-\pi,\pi)\cap \mathbb{Q}$在$\mathbb{Q}$中是有界闭集，但不是紧集

定理12.1 闭区间套性质

• $\mathbb{R}$中的闭区间套$I_n$的无限交非空。运用上面紧集的交集中的结论
• 也可以 $[a_i,b_i]$, $A=\lbrace a_i |i\in \mathbb{N}\rbrace,x=\text{sup}A$, 证明x属于所有，利用任意两个交非空

定义12.2 k维格子

• $x_i\in [a_i,b_i],i=1\cdots k, x=(x_1,\cdots,x_k)$ 就是长方形，矩体的样子
• 定理12.3 k维格子嵌套性质
  • 对于每个维度单独用闭区间嵌套性质，所以最后汇总出来存在一个x
• 定理12.4 k维格子是紧集
  • 反证：如果不紧，存在一个开覆盖没有“有限”子覆盖，那么对于当前格子切割
    • 至少切割的一部分没有有限子覆盖
    • 继续反复切割，这样得到了一系列 嵌套切割，每一个都没有有限子覆盖（这要切割有限次才行吧？？？？
    • 那么 这个切割嵌套至少包含一个点x,找任一个包含x的覆盖Gx,那么因为Gx开，所以Gx包含x的一个可确定大小的邻域 ，矛盾
    • 总觉得怪怪的呢？
      • 反复看了下，如果不紧，存在一个开覆盖，反复的（无限切割？块还严格变小？包含一个点没有处理所有点？）
      • 预先完成无限切割（二分所有维度）
        • 那么对于任意给定n_1,可以找到一个序列是不被覆盖的，
        • 再任意给定n_2,可以在上面基础上继续延长这个序列
        • 再任意给定n_3,还是可以继续延长
        • 还是好怪啊，而且没用到闭集的性质也是
    • 对于k维格子，令$\delta= \sqrt{\sum (a_i-b_i)^2}$ 距离平方和开根，就是最长对顶点距离
      • 任意两点距离$\le \delta$
      • 然后这里的确是 二分所有维度(任意两点距离最大值减半)，切割成了一个 {I_n} 族，其中每一个都不能被有限覆盖，（且看起来是无限(?)切割）
      • 存在点x属于所有的 嵌套的格子，
      • x 属于I,所以存在Gx覆盖x, 且是开集，x的某r邻域属于Gx, 那么注意到上面二分让最大距离减半，所以可以控制n来控制r
      • 从而存在 $n$, x所在的切割 $I_n \subset N_r(x) \subset G_x$, 那么I_n被G_x覆盖，和前面的“能找到”矛盾

定理 12.5 $\mathbb{R}^k$ 中的有界集

• 子集E有界，那么包含在某个k维格子中
• 证明: 有界=> 距离表达 存在上限M => 距离展开不等式，每个维度的上下变化不超过-M,+M

定理 12.6 海涅-博雷尔定理

• $\mathbb{R}^k$的子集E是紧集 当且仅当 它既是闭集又是有界集
  • 这里 闭集 和 有界集，指的是$\mathbb{R}^k$中的 闭集和有界集
  • 紧集=> 闭(11.7),有界(11.10)
  • 有界闭 => 在某个k维格子I中(12.5)，I紧， => 是紧(11.8 紧中的闭是紧)

定理12.7 实紧集中的极限点

• $\mathbb{R}^k$的一个子集E是紧集，当且仅当 E的每个无限子集 在E中 都有一个极限点
• 证明：
  • 紧 => 每个无限子集都有极限点(11.13)
  • 每个无限子集都有极限点 => 是紧集 （证明是有界闭集）
    • 逆否命题，不是有界或不是闭集 => 存在无限子集 没有极限点
    • 无限：q=0, 找点，（计算距离，翻倍距离找新点） 重复，可以得到一个无限点集，每个点都是孤立点
    • 不是闭集：E有不属于E的极限点x_0,对于r,每次折半，取E中的点，这样x_0是唯一极限点 但又不属于E

对于任意$E\subset \mathbb{R}^k$ 下面三个命题是等价的

• E既是闭集又是有界集
• E是紧集
• E的每个无限子集在E中都有一个与极限点

定理12.8 （魏尔斯特拉斯定理）

• 如果$\mathbb{R}^k$的无限子集E有界，那么E在$\mathbb{R}^k$中有一个极限点
• 证明：
  • 12.5 存在格子I, $E\subset I$,
  • 12.4 I是紧集
  • 11.3 I中任意无限子集有极限点，E在I中有极限点
  • I是$\mathbb{R}^k$子集，E在$\mathbb{R}^k$中有集贤殿

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小总结

• 从 拓扑，回到了$\mathbb{R}^k$, 从 交非空 来到了 嵌套
• 从更普适的拓扑，回到$\mathbb{R}^k$ 上以后甚至$\mathbb{R}$上以后，反过来，有界闭集=>是紧集=> 也就是有界闭集的任意开覆盖存在有限子覆盖，也有有界闭集的任意嵌套并非空

完备集与连通集

我们将 引入连通集的概念来结束对拓扑学的研究。

不仅区间不可数，每一个实完备集也都是不可数的。

完备集：A, A的所有极限点属于A, A的所有点都是A的极限点

定理 13.1 实完备集是不可数的

• 如果$\mathbb{R}^k$的非空子集P是完备集，那么P就是不可数的
• 实际上值 P中有不可数各元素
• 证明：P非空 => 至少包含点x => 因为完备（x是极限点），x的任意邻域包含无限多点 => P是无限集
  • 若P 是可数的, 那么存在一个写成有序点列的方法?
  • P中$x_1$选半径，因为 完备=>$x_1$极限点，闭邻域 $r_1$, 开邻域中存在 $x_2$, 取$r_2$ 使得邻域完全在$x_1,r_1$中但是 不含$x_1$
    • 这个方法可以在P中选择出一系列点，和一系列闭邻域 层层嵌套，
    • $K_n=\bar{V_n}\cap P$ 每个闭邻域与P的交，
      • 每个闭邻域有界闭，所以 根据海涅-博泪尔 => 紧,
      • 根据11.9（闭交紧=得到紧，这里P是闭，所以K_n 也紧。
      • 根据$\bar{V_n}$嵌套,$K_n$也嵌套
      • 这里矛盾的是 K_n无限可数交非空，但是任意点给定n,都不输于这个可数交，然后就矛盾了？
      • 为啥？为啥是给了一个方法，证明了矛盾，而不是证明不存在方法呢？
• 康托尔集：每次3等分闭集，去掉中间
  • 这样 取这个可数交，得到的是不可数集，长度还为0
  • 是实完备集，不是任何闭区间的超集

定理13.3 康托尔集非空

• 每个 $E_n$ (构造的每一层)，都是有界闭集，是紧集。紧集的嵌套非空
• $P=\cap^{\infty} E_n$ ,P本身是 有界 闭集（无穷多闭集的交），所以P也紧

定理13.4 不包含开区间

• 任意 (a,b) , 不是子集(a < b), 区间长度总能 < b-a, 类似的不包含任何非单点的闭区间
• 从而包含的所有闭集都是单点集

定理13.5 康托尔集是完备集

• 度量空间$\mathbb{R}$中 康托尔集P是完备集
• 完备: 极限点属于P,(闭)，所有点是极限点
  • 只需要证明 所有点是极限点即可，也就是每个点任意邻域内有点

定义13.6 分离集

• A,B是度量空间X的两个子集，如果$A\cap \bar{B}=\varnothing, \bar{A}\cap B=\varnothing$那么称为分离的，也就是互相不与对方闭包相交
• 例如 $A=[-1,0),B=(0,1]$ 是分离的 而如果其中一个取到零就不是分离的了
  • $A=[-1,0),B=[0,1]$ 是不相交的，但不是分离的 因为 B交 A的闭包 = {0} 非空
• 上面 康托尔集构造中 $E_n$中每一对闭区间都是分离的

定理13.8 分离子集

• A,B分离, $A_1\subset A,B_1\subset B$ ,那么$A_1,B_1$也是分离，核心还是 闭包不会超过父集的闭包

定义 13.9 连通集

• 不连通： 度量空间X,的子集E是两个非空分离集的并集（可以表示成），那么E是不连通的
• 存在 $A,B \subset, A\neq \varnothing,B\neq \varnothing$,
• $E=A\cup B$
• $A\cap \bar{B}=\varnothing, \bar{A}\cap B=\varnothing$
• 连通 = 不是 不连通
  • 感觉上就是能否切开（而且切开处不会有闭包“粘黏感”
  • 空集是连通的
  • 上面的例子 [-1,1]是连通的， 例如切割$[-1,0),[0,1]$ 不是分离的
  • 康托尔集不连通

定理13.11 不连通的另一种定义

• E 不连通
• 存在$U,V\subset X$使得
• $U,V$都是开集
• $E\subset U\cap V$
• $E\cap U\neq \varnothing,E\cap V\neq \varnothing$
• $E\cap U\cap V =\varnothing$
  • 感觉上，像是两个 U,V泡泡 包裹E的部分
  • 另一方面，可以用上面A,B的并集的补作为U,V, 这样的话是对应的感觉

定理13.12 实直线上的连通集

• $\mathbb{R}$的子集E是连通的，当且仅当对于任意给定的两点$x,y\in E$和任意$z\in \mathbb{R}$, 如果$x < z < y$那么$z\in E$
• 也就是 连通 => 任意两点中间所有点， 任意两点中间所有点=> 连通
• 证明：
  • 逆否命题 不包含其中某个点 => 不连通，因为不包含p,那么可以用 $U=(-\infty,p),V=(p,\infty)$ 包裹
  • 逆否 不连通 => 不包含某点，存在分离集A,B,每个中存在点x,y,那么 $z=\sup\lbrace a | a\in A,x\le a \le y\rbrace$
    • 需要证明 $z\not\in E$， z 一方面是A的闭包上的（是A的极限点），根据13.9 的定义 B交A的闭包为空，所以z不属于B
    • 如果 z不属于A,那么 两个不属于，保证了 x < z < y
    • 如果 z属于A, 因为 A交 B的闭包为空，所以 A中的点 不是B的极限点，所以z存在邻域 交B的闭包为空，邻域中取一点$z_1=z+r/2$，$x < z_1 < y$
• 推论，开区间(a,b), 闭区间[a,b]都是连通的，也就是任意两点之间的点都包含

4. 序列

收敛

定义14.1 序列

• 也就是 把 自然数映射到 度量空间中的点的函数
• $f:\mathbb{N}\to X, f:n \mapsto p_n$ （序列长度无限）
• 可能值的集合称为 范围，如果范围有界则称为有界
  • 范围：取值个数：可能无限，但是有界， $1/n$
• 可数集 都有办法排成序列

定义14.3 收敛

• 对于任意 $\epsilon >0$存在$N > 0$ 每个$n > N$, 有$d(p_n,p) < \epsilon$ 那么收敛到$p\in X$, 称作$p_n$的极限
• 可以就是可以通过控制N来控制 距离
• 发散 = 不收敛

定理14.5 收敛另一个定义

• {p_n}是度量空间X中的任意一个序列， 收敛到$p\in X$,当且仅当p的每一个邻域，在邻域外之存在{p_n}的有限多个元素
• 对于 想被控制的 邻域，能找到N,那么 不超过N个元素在外面所有有限
• 反过来 如果有无限多，无法通过N控制

定理14.6 极限的唯一性

• 核心还是邻域，用上面14.5的好处是 r直接选1/3距离

定理14.7 收敛 则 有界

• 14.5的划分， 界=有限 与 邻域的max可以控制

定理14.8 收敛到极限点

• $E\subset X$,且p是E的极限点，E中存在一个收敛到p的序列 {p_n}
• 也就是 按照极限点性质，每次严格缩小邻域(1/2) 都可以有存在的点，极限点显然是序列的极限，而序列极限存在则唯一，所以

推论14.9 紧集的无限子集中的序列

• K是一个紧集，E是K的任意一个无限子集，那么E包含一个收敛到K中某点的序列
• 根据11.3 紧集K的任意无限子集E有一个极限点$p\in K$, 注意可能不属于E,
• 根据14.8 这个 极限点可以构造对应序列

推论14.10 有界无限实数集中的序列

• $\mathbb{R}^k$的每个有界无限子集 E都包含一个收敛到$\mathbb{R}^k$中某点的序列
• 12.8 维尔斯特拉斯定理：$\mathbb{R}^k$ 有界无限子集 E，在$\mathbb{R}^k$ 中存在极限点
• 从而 14.8 的方式构造出序列

极限与子序列

序列之间的运算 与 自序列考察

定理15.1 代数运算

• 1. （加法/减法）收敛序列的 元素对应下标相加，新的序列 收敛于 原来两个收敛值相加
  • 注意到恒为c的序列收敛于c,所以 运用1,有常数加法
• 2. 常数乘法, 收敛序列 每个元素 乘c, 新收敛值 = c * 原收敛值
• 3. 序列 对应下标相乘，收敛于 收敛值相乘。这个 稍微配个待定系数 加 max限制以下可以控制，
• 4. 如果 极限非零，且序列任意元素非零，那么 极限趋于 1/极限，这个用邻域控制了符号，再二次控制半径即可

定理15.2 实向量的收敛性

• 向量的收敛，也就是每个维度的收敛（当且仅当）
• 本质是源于 距离公式的定义

定理15.3 $\mathbb{R}^k$中极限的代数运算，向量

• 保持加法
• 保持数乘
• 保持内积

定义15.4 子序列

• 保持，下标递增的取出
• 子序列 也是一个序列

定理 15.6 收敛 <=> 所有子序列都收敛

• <= 很好证明，因为自身也是自身的子序列
• => 收敛：存在p, 通过N控制p的范围，那么 子序列 同样被控制，所以p也是子序列极限，极限唯一，子序列都收敛到p

定理15.7 紧集中的子序列

• 紧度量空间X中任意子序列，那么$p_n$的某个子序列将收敛到某个点$p\in X$
• 如果 取值有限，那么一定有值出现无穷多次，那么子序列取 等于这个值的即可
• 如果取值无限，那么利用11.13（紧中无限存在属于紧的集贤殿）存在极限点p, 也就是p任何邻域包含 序列E中无限多点，每次取一个，r/=2,注意到子序列要保证下标顺序，所以要取的 E中下标更大与 p邻域的交集，而因为无限总能取到，从而完成构造。

定理15.8 波尔查诺-维尔斯特拉斯 定理

• $\mathbb{R}^k$中的任意一个序列，如果$p_n$有界，那么某个子序列 将收敛到某个点$p\in \mathbb{R}^k$
• 和前面的感觉有点像，前面是 有界无限 能有 极限点
• 这里 其实就是 找到包裹的 有限格子I,紧集，然后用15.7

定理15.9 全体子序列极限组成的集合$E^*$是相对于X的闭集

• 闭集也就是 极限点属于自己
• 那么 q 是 $E^*$的一个极限点
  • 如果 存在 N, n>N, p_n=q, 那么 p_n就是有唯一极限为q的序列，每个子序列极限也是q
  • 核心想法是三角不等式+严格趋于0的领域，$r_n = d(p_{n_i},q) < d(p_{n_1},q)/i$, 也就是 每次找q的一个$r_n/2$中$E^*$中的点，再这个点又可以邻域$r_n/2$ 且 坐标比当前最大坐标更大的一个点，从而 三角不等式两个邻域完成了找点
  • 从而 我们能找出一个序列的极限是q,所以q也属于$E^*$,
  • 这里的过程 和 之前证明 闭包 不会产生新的 极限点的思路可以说完全一样

柯西序列与单调序列

是否存在一种与收敛性相似，但不依赖于度量空间的性质？有就像紧性那样，

• 柯西序列是在任何度量空间中都成立的性质。
• 某个度量空间中的柯西序列 在 任何度量空间中都是柯西序列

定义16.1 柯西序列

• {p_n} 是度量空间X中的任意一个序列。如果任意$\epsilon > 0$存在某个自然数N，对于任意大于等于N的n和m均有$d(p_n,p_m) < \epsilon$ 那么 ${p_n}$ 是一个柯西序列
• 从理解上，都是控制N来控制“度量空间中的距离”，但不同的是，这里我们“不知道”极限的具体，而是后面任意选择n,m, 从形状上理解，原来的更像知道中心在控制半径，而这里像在控制直径不知道中心。

定理16.3 收敛序列 => 柯西序列

• 序列收敛到p,那么这个序列也是柯西序列
• 这里终于说直径的概念了

定义16.4 直径，

• 集合中 元素距离的 上确界

定理16.6 柯西序列的直径

• 子序列{P_N,P_{N+1}…
• p_n是柯西序列，当且仅当 上述从N开始子序列，当N趋于无穷时，直径趋于0

定理16.7 闭包的直径

• 度量空间X的任意子集 E, $\text{diam} \bar{E}=\text{diam} E$
• 闭包的直径和原来的直径一致
• 这里用 >=, <= 来证明，>=是显然的，因为闭包多了点，只可能变大
• 要证明 $\text{diam} \bar{E} \le \text{diam} E$, 那么 也就是证明 任意 $\epsilon > 0$, $\text{diam} \bar{E} \le \text{diam} E+\epsilon$
  • 这样 p-q vs p-p1-q1-q,的想法，其中p1,q1是E中，p-q是闭包中，三角不等式
    • 任意p-q, 找到分别邻域 p1,q1, 左侧 <= r+右侧距离+r <= r+sup+r, 所以r=epsilon /2整理顺序苛政

定理16.8 嵌套紧集，直径趋于0, 无穷交恰好包含一个点

• 嵌套紧集 至少一个，如果两个直径趋于0矛盾，

定理16.9 紧集中，柯西序列=> 收敛序列

• 每个子集的闭包 构成嵌套，直径趋于0,所以恰好存在一个点，这个点是极限

定理16.10 在$\mathbb{R}^k$ 中 柯西序列 => 收敛序列

• 柯西序列，有界，格子，紧集，16.9 => 收敛

定义16.11 完备性

• 如果X中每个柯西序列都收敛到X中的某个点，那么度量空间X就是完备的
• 任何紧度量空间都是完备的，
• 任何欧几里得空间$\mathbb{R}^k$都是完备度量空间
  • 例如 有理数空间不完备，可以收敛到不属于有理数空间的有力柯西序列

任意有序域F,下面两个命题等价

• F有最小上界性
  • 有序域才能定义一个有意义的上界
• F是完备的并且有阿基米德性质

定理16.13 完备度量空间的闭子集

• E是完备度量空间X的子集，如果E是闭集，那么E也是完备的
• X完备，所以E中的柯西序列收敛于X中的某个点，p的每个邻域也包含E的无限多点，p是E的极限点。p是闭集所有已p属于E,所以E完备

定义16.14 单调序列

• 有序域， s_n<=s_{n+1}单调递增
• 对称同理 定义

定理16.16 有界单调序列

• {s_n} 是有序域F中的单调序列，并且F具有最小上界性，那么{s_n}在F中收敛当且仅当{s_n}有界
• 收敛=>有界 之前证明过
• 有界=> 收敛， 有界-> 有上确界s, s的任意邻域有无限多值，从而控制 半径，

子序列极限

定义17.1 发散到无穷大

• {s_n} 是度量空间$\mathbb{R}$ 中的任意一个序列，如果任意$M\in \mathbb{R}$, 存在某个自然数N,使得对于每一个大于等于N的n有$s_n\ge M$那么{s_n}就发散到无穷大
• 负无穷大类似

定理17.3 无界 <=> 一个子序列发散到无穷大

• 无界 任意点和半径存在点很远，这里要多控制一个下标，这样能完成构建
• 发散到 无穷大，如果有界，只需要 M_1 = M_0+ 界限的控制

定义17.4 上极限和下极限

• 定义是 子序列收敛点 集合的sup,inf
  • 有的地方 记作 limsup 一个整体
• 这里有讨论 无穷大，负无穷大，本质上不是极限

定理17.6 收敛序列的上极限和下极限

• $\mathbb{R}$中任意一个序列，收敛到有限数s，当且仅当 上极限=下极限=s
• => 前面证明过
• <= 每个收敛子序列都收敛到s,那么 是否可能原序列不收敛，对于任意s邻域，s_n中有无穷多在邻域外的，而根据15.8 这些中可以选出一个序列收敛于一个新的点，和“每个收敛子序列都收敛于s”矛盾
  • 这里的=> 太直观了，而<= 很“神奇”

定理17.7 上极限下极限都是子序列极限

• 又是 和之前类似的，双重邻域接上三角不等式

定理17.8 作为序列边界的上极限和下极限

• {s_n}是度量空间$\mathbb{R}$中的任意一个序列，E是其子序列极限的集合，s=lim sup_{n\to \infty } s_n,对于任意x>s,存在N,使得 n>=N时有 s_n < x
• 也就是大于上极限的数，可以序列从某处截断后面都比它小
  • 反证法，找不到，就有无穷多个构成 新子序列有新极限

定理17.9 上极限和下极限存在性和唯一性，

• 在扩张的实数系中，存在且唯一。
  • 扩张是指 +\infty, -\infty
  • 这里也是运用15.8，无穷中能抽出子序列有新极限来证明过

定理 17.10 上极限和下极限的比较

• 两个序列，如果下标对应有一致大小关系，那么它们的上极限下极限有同样的大小关系。

特殊序列

定理18.1 夹逼定理

• $a_n \le s_n \le b_n$ 如果左右都收敛到同一个点，那么中间也是

定理18.2

• p > 0 $\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n^p}=0$

定理18.3

• $\lim_{n\to\infty} p^{\frac{1}{n}}=1$

定理18.4 $\lim_{n\to \infty}n^{1/n}=1$

定理18.5 $\lim_{n\to\infty} \frac{n^a}{(1+p)^n}=0,p>0,a\in\mathbb{R}$

定理18.6 $|x|<1, \lim_{n\to\infty} x^n=0$

级数

部分和$s_n=\sum_{i=1}^n a_i$

级数: 部分和序列

• 级数不是和 是 序列

级数收敛: 部分和序列收敛到某个点

• 否则发散

定理19.2 级数收敛性

• 当且仅当 任意$\epsilon >0$存在自然是N,使得对于任意大于N的n和m有 之间的 原序列a_{n~m} 的和的绝对值在epsilon内
• 就是柯西序列的想法
• 推论19.3 必要不充分
  • 级数收敛，原序列趋于0

定理19.4 a_i >=0

• 级数 收敛，当且仅当 部分和序列 {s_n} 有界
• 也就是 单调递增有界，所以收敛

定理19.5 收敛的比较判别法

• 某个N以后 |a_n| <= c_n, 并且c_n的级数收敛，那么a_n的级数也收敛
• 三角不等式 + 柯西压缩法可以控制 a_n和的范围

定理19.6 发散的比较判别法

• 0 <= d_n <=a_n
• d_n的级数发散，那么a_n的级数翻上，用上面反证

定理19.7 几何级数

• |x| < 1 级数 $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$收敛到$\frac{1}{1-x}$, 其它范围发散

定理19.9 柯西凝聚判别法

• $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$是单调递减非负项级数, 它收敛 <=> $\sum_{k=0}^{\infty} 2^ka_{2^k}$收敛
• 通过配项 1/2 右侧 <= 左侧 <=右侧， 可以得到它们同时有界或无界，而单调性从而同时收敛或发散
• 可以用于调和级数

定理19.10 p级数

• p > 1 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$ 收敛

总结

3. 集合相等 常用 互相包含证明
4. 最小上界：任何集合中的不大于它，任何小于它的不是上确界
5. 阿基米德性质：任意x,y能找到nx>y
6. 三角不等式
7. 双射：是函数，单射+满射
8. 集合可数：建立与自然数的双射，或者自然数到它的满射，忽略重复项
9. 邻域 钦定半径，有限才有min,max
10. 补集（颠倒开闭方便证明）
11. 紧（任意开覆盖 有 有限子覆盖），无穷多嵌套紧集非空
12. $\mathbb{R}^k$ 中 紧集=有界闭
13. 拓扑问题 一些证明 讨论p的属于与不属于的情况
14. 数列收敛 控制N来控制范围
15. 子序列构造：三角不等式+邻域+控制下标
16. 柯西序列控制直径 => 收敛，证明是柯西序列就证明收敛
17. 子序列的子序列，在增广定义下能找到收敛的子序列
18. 夹逼定理
19. 级数不适合，比较判别法 柯西凝聚判别法

其它