普林斯顿 微积分读本
isbn 978711543559
据说有视频课 calclifesaver.com
1 函数，图像，直线
挺细的，高中可读
2 三角学回顾
是真的细，从角度到弧度
$sin^2+cos^2=1$
$1+tan^2=sec^2$
$cot^2+1=csc^2$
$sin(a+b)=sin(A)cos(B)+cos(A)sin(B)$
$cos(a+b)=cos(A)cos(B)-sin(A)sin(B)$
$sin(2x)=2sin(x)cos(x)$
$cos(2x)=2cos^2(x)-1=1-2sin^2(x)$
3 极限导论
一个对比的例子 f(x)=x+1,那么
- x趋于1时 f(x)的极限是2
g(x)=x+1,x != 1时
g(x)=3,x =1时
同样有: x趋于1时 g(x)的极限是2
函数的点极限是在聊没（不一定）取到的趋近值
垂直极限， x在左右趋于a时，有一侧的值趋于正无穷或负无穷
点附近不趋于任何数 sin(1/x), x 趋于0时
x趋于正无穷时，的极限，意味着有水平渐近线
夹逼定理（三明治定理）g<=f<=h 在x的范围附近，那么g和h极限相同，则f也是
4 求多项式的极限问题
f(x)=(x-1)(x+1)/(x-1) 在点1的极限
里面主要是一些做题的例子，例如什么分子有理化
四则运算保持部分，主要注意的是在加减过程中 可能导致低次等价无穷小 无穷大的消失
(x^2+x)/x, (x^2-x)/x 在 无穷大 极值都是 无穷大，但是差在无穷大的差是 趋于2
这里 主要列的都是 x多项式的 p(x)/q(x) 在无穷的极限
5. 连续性和可导性
直觉上是一笔画，但对于数学这并不对。
f(x)=x当x有理数，0当x无理数，能在0点有极限，（这就是点连续的感觉反例）
这点连续，但区间不连续
或者 f(x)=1/x在0以外处处连续（但是不一致连续）
这块内容核心是，
- 点连续：该点的值=该点的极限
- 区间上连续：区间上所有点连续
- 这两个都是数学抽象的定义，图像上最好的描述可能还是 y 包裹距离lambda的线，和x包裹 delta的线
有些函数 点没有定义，但是对应位置有极限，可以考虑补充定义 f(x)=xsin(1/x)
介值定理：闭区间，左右端点异号，然后函数连续，那么 区间中存在一点f(x)=0
- 这个定理通过平移可以有 左右端点(f(l)-a)(f(r)-a) 异号，中存在点 f(m)=a
最大值最小值存在定理： 闭区间+连续，区间有最大值，最小值
- 这个理解其要素，要考虑如果开区间，如果不连续 不存在的例子就能更深刻
可导性：
从时间，速度，距离出发，引出距离时间图像中 速度与导数的关系
单点的导数也就是：
- f(a)’ = (f(x)-f(a))/(x-a), 当x趋于a的极限
- 这里 我们也就用了前面学的极限
- 另一个代换就是 (f(a+h)-f(a))/h
- 那么 同样极限可能存在，可能不存在。 如果极限存在，定义在 此点 可导
- 分母是 delta x, 分子是 delta y
- 记作 dy/dx
- 注意不是分数，而是表示 delta y / delta x的极限
- 更具体的应该是 d/dx(y(x)), 也就是y是关于x的函数，对其自变量x求导的
- 更进阶的有可微概念（说白了是 关于自变量的线性表出，不过好像微积分不学，在数学分析里）
- 不存在例子 |x|/x
- 这里说明 连续不一定可导
常见的导数表
- $ax^b = abx^{b-1},b\neq 0$
可导 => 连续
- 考虑 f(x)=x+1, 特别的x=0时f(x)=2, 其实会发现，分母趋于0时，如果不连续，会导致分子不趋于0（甚至没有极限）
6. 求解微分问题
用定义求导
常用公式
- $d/dx (x^a)=ax^{a-1}$
- $d/dx(C)=0$
推论
- 乘积法则
- h(x)=f(x)g(x), h’(x)=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)
- 或者写成 y=uv, d/dx(y)=v d/dx(u)+u d/dx (v)
- 还可以扩展更多的y=uvw
- 商:
- h=f/g, $h’=(f’g-fg’)/(g^2)$
- 说白了 希望能用四则运算的思路对这个进行分解
- 那么加减其实也有h=f+-g,h’=f’+-g’
- 而需要注意的是，这里需要每一部分的导数是存在的
- 特别的，4则运算以外有函数复合 h=f(g(x)) 称作链式求导，可以更多的复合
- 就是导数定义展开就能得到
- h’=f’(g(x))g’(x)
- y(u),u(x), d/dx(y)=d/dx(y) * d/dx(u)
- 例子 $y=u^{100}, u=x^2+1$
- $d/dx(y) = 100u^{99} 2x=200x(x^2+1)^{99}$
这里 乘积法的解释用的 长方形边长分别f,g, 面积的变化的概念
这里 链式法的理解用的 在 放大镜后面拉伸口香糖，那么是倍率相乘
加速度引出二阶导数
做题：导数伪装的极限（那些可以看成导数表达的极限）
导函数图像绘制：
- 找导数为零的点，为切割点（不一定切割 例如f(x)=x^3
- 找二阶导数 为0的点，为函数 凸 凹的切割点
7. 三角函数的极限和导数
重要极限： x趋于0, sin(x)/x=1
其他常用
- cos(x->0)->1
- x->0, tan x / x = 1
- sin’ = cos
- cos’=-sin
- $tan’=sec^2$
- $sec’=sec\cdot tan$
- $cot’=-csc^2$
- 反正背了无数年也背诵不到
其它方法，把分母想办法化作0的形式，变量替换，
一个本身可导导函数 不连续 的函数：
$f(x)=x^2sin(1/x)$ 补充定义x=0,
8. 隐函数求导和相关变化率
隐函数：给的表达式不是y(x)=…的形式，但从自变量因变量上，依然x是自变量，y(x)的因变量
$x^2+y^2=4$
方法：在两边加上 d/dx ，因为f(x,y)=g(x,y), 那么我们认为这两个函数在要求的一段区间上的 映射是一致的，
- 那么 如果导数存在，左右导数相等
求二阶导：
- 一样的步骤
- 注意的是 d^2/dx^2(y)=d/dx(d/dx(y))
- 和 $(d/dx(y))^2$ 这两个意义是不同的
例子
- A上方5m,3m/s向上
- B右侧12m, 4m/s向 左
- 求A/B之间距离变化速度
- $a^2+b^2=c^2$
- $2a d/dt(a)+2b d/dt(b)=2c d/dt(c)$,
- $5 \cdot 3+12\cdot (-4)=13 d/dt(c)$
- 可计算要求的结果
9. 指数函数和对数函数
书上这么细致，都快要初中生可看了，从对数 指数 反函数开始讲
重要极限 e=(1+1/x)^x, x趋于无穷大时的极限，
重要函数 d/dx(ln(x)) = 1/x
- $d/dx (a^x) = a^x ln(a)$
- $x\to 0$, $\frac{e^x-1}{x}=1$
- $x\to 0$, $\frac{ln(1+x)}{x}=1$
- 注，这些东西，到后面等价无穷小会 更不特例化,或者洛必达
指数增长迅速$x\to \infty \frac{x^n}{e^x}=0$, 也就是 多项式/指数型 -> 0
对数增长缓慢 $a>0,x\to \infty \frac{ln(x)}{x^a}=0$, 不管a多小
对数函数在0附近“增长”缓慢：不管a多小, 如果$a>0, x\to 0^+ x^aln(x)=0$
指数增长：复利，动物种群数
指数衰变： 放射性衰变
若 $y=e^{kx}$,那么 dy/dx = ke^{kx},也就是 dy/dx=ky
- 这是一个微分方程例子，第30章会有更多例子
- 这里 如果dy/dx=ky,那么$y=Ae^{kx}$,在30.2节中说为什么会这样
- 而这里对应到 兔子繁殖，说明了，增长速度和现有量保持常熟倍数关系
- dP/dt=kP, => P(t)=P_0e^{kt}
类似的 dP/dt=-kP 指数衰变，$P(t)=P_0e^{-kt}$
双曲函数:
- $cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$
- $sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$
- 作者的评价： 伪装的指数函数又和三角函数相似
- $cosh^2-sinh^2=1$ 双曲方程
- sinh’=cosh
- cosh’=sinh
10. 反函数和反三角函数
充分,非必要，严格单调递增函数 f(x) 有反函数，那么如果函数可导，导函数符号不变，那么也可以得到有反函数
如果存在，那么当 f(y)=x时，我们就能求f的反函数了，因为这时的 y(x)输入得到x,
1=d/dx (x)=d/dx(f(y))=f’ * d/dx(y)
f’=1/(d/dx(y))
这个东西，对于 一元的，去看函数图像的对称更好看，更直观
具体的 反三角函数
$d/dx \sin^{-1}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$d/dx \cos^{-1}(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$d/dx \tan^{-1}(x)=-\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
… 这里还有其它反三角函数的导数，然后也有反双曲函数的导数
$x>1,d/dx \cosh^{-1}(x)=\frac{1}{x^2-1}$
$d/dx \sinh^{-1}(x)=\frac{1}{x^2+1}$
11. 导数和图像
局部最大值，称作局部极大值
极值定理：开区间(a,b)内的局部极值，一定是导数为0,或者导数不存在
罗尔定理：f在[a,b]连续,在(a,b)可导，f(a)=f(b),存在一点 f’(c)=0
在罗尔定理上，增加一个线性函数就有了中值定理：
[a,b]内连续,(a,b)内可导，(a,b)中存在c, f’(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)- 需要注意的是这是 增加线性函数不是旋转，因为旋转可能让函数变得不是函数，而线性偏移，保证y的输出还是一个
注意的是，罗尔定理和中值定理，都是存在性定理
- 用途
- 例如 导数为0 证明 常函数
- 任取两点，因为可导，存在f’(c)=两点值差/坐标差，那么只能值相等
- 上面这个结论可以推得，两个导数相同的函数 的差是常数
二阶导数 图像：凹凸，拐点（’’=0)
一阶导数零点：
- 局部最大：一阶 +->-， 二阶 <0
- 局部最小：一阶 - -> +, 二阶 >0
- 水平拐点，单调递增： 一阶 +, 二阶=0
- 水平拐点，单调递减： 一阶 -，二阶=0
- 注意的是， 二阶=0只是必要，但不充分，也就是无法从二阶=0判断什么，
- 例子 $x^3,x^4$ 在0点的时候 二阶都=0
12. 绘制函数图像
利用上面性质找关键点绘制，然后研究凹凸性绘制
13.最优化和线性化
实际应用：
最优化的核心思想是，找到所有变量，和优化目标，然后利用等式化简成单变量函数 f(x)，然后确定范围和极值点
线性化求近似值，这里例子是f(x)=sqrt(x),然后算 sqrt(11),用的x=3的一阶展开，思想核心有泰勒展开也有牛顿切线，完成估算
L(x)=f(a)+f’(x)(x-a) 称作在x=a点处的线性化
微分: df=f'(a) delta x, 误差: rf=f(x)-L(x)=delta f-df=1/2 f’’(c) (x-a)^2 (根据中值定理) <= 1/2 (x-a)^2 max(f’’)
牛顿法： a是方程 f(x)=0的解的一个近似，如果b=a-f(a)/f’(a), 很多情况b是更好的近似，这个图像上 很“显然”
- 一个明显的优点是，对于高次函数难以有直接求根公式时，这个方法很多时候能有效的求得一个数值根
- 同时从图像上也能知道，这个方法无法始终有效，当选取的初始点和范围无法完成对应的下降的话
14. 洛必达法则及极限问题总结
结论： f(a)=g(a)=0, lim x-> a, f(x)/g(x) = f’(x)/g’(x)
这个的核心想法是，f(x)/g(x)在a附近 = (f(a)+delta f)/(g(a)+delta g) = delta f / delta g = (df+rf)/(dg+rg), 微分+误差
- 如果df,dg不同时为0, 那么就有结果了，rf,rg是高阶无穷小，可以忽略的部分
- 如果df,dg 同时为0,那么 rf/rg 再次展开，可以再次洛必达
- 这里 的另一个解释是，希望导函数在附近是一致收敛的，这样 f’(c)(x-a)/g’(c)(x-a)来表示
对于0/0有了，那么 无穷/无穷，可以看成 倒数
这里延伸了一点，不过感觉要在等价无穷小那里讲，
- x趋于0, 1/x-1/sin(x)， 注意的是 无穷-无穷，（没有减法的对应运算），但是可以通分，
- 0 乘上 无穷， x->0, xln(x), 化成 无穷/无穷
15. 积分
这里先讲 求和符号，以及高斯计算1+…+100
这里用的 汽车 速度 时间 路程 的 坐标轴图像来引入，导出了 积分就是“希望”求和坐标轴围起来的“有向”面积
- 这里讲“有向”就是向上是正，向下是复
- 可以无向吗，显然你可以这样定义，但是这显然不符合期望
- 例子就是 车的速度变化，的变化函数的围成面积，引入方向是更自然的结果
- 可以无向吗，显然你可以这样定义，但是这显然不符合期望
- 这里的“希望”是说，目前阶段的积分定义 解决不了一些 以后学实分析时 f(x)=1(当x是无理数时),0(x是有理数时)的这种积分
积分的想法，就是通过“均匀”（非必要，只是常用的方法）纵向切割，切割面积成很多纵条
- 每个纵条在原函数下方，且最大，则称为小和
- 每个纵条在原函数上方，且最小，则称为大和
书上写的 上和 下和，应该更直观一些
然后极限的是 切割的数量 趋于无穷
- 这时候，大和小和要趋于同样的值，那么根据三明治夹击定理，得到了函数的“积分”
- 这里 趋于同样值，意味着大和小和的差趋于0
16. 定积分
上面这个东西，我们称它为定积分$\int_{a}^b f(x)$, 表达式 f(x)在取值[a,b] 范围时，和坐标轴 围成有向面积
这里注意的是，我们会发现 一条线 的面积是0,（概率论中的 0 概率不表示不可能）
$\int_{a}^b f(x)=\lim_{mesh -> 0}\sum f(c_j)(x_j-x_{j-1})$
- 也就是切割最大间隔趋于0
- c_j 是$[x_{j-1},x_j]$之间的某个值，那么f(cj)就是之间最大最小值之间
- 称作 黎曼和，黎曼积分
常用技巧就是 以1/n,然后完成求和表达式，当n趋于无穷时，计算这个极限
为了计算一些分段的函数，并且和连续函数契合，定义了 int[a,b]+int[b,c] = int[a,c]
- 为了使它合理，定义了 a >= b的值
- 这里我们可以发现，虽然 划分也好，拆分int也好，
[a,b]+[b,c]看起来计算了两次，而对于有限值的点来说，面积就是0, - 以及列了一些 和四则运算相关的性质，常数倍数提出，int 加减拆分
然后类似的，在积分上有 三明治夹击定理，中值定理
不可积函数：举例了上面实分析的例子：下和=0,上和=1
17. 微积分基本定理
中文的 积分 微分 都带一个分，而且名字都叫微积分，有一种关联的感觉
但这里 才是“一个厉害的结论”
从 定积分 在点a的 增量是面积，微分是f(x) deltax, 导数是f(x), 引出：积分 和 微分 是（一种逆运算的感觉）
- 这个意义在于，微分看起来更好求，那么如果有了微分，那么不再需要 黎曼切割去算积分，而直接有积分
- 第二是，中文叫做不定积分，和定积分
- 写法上差别是 范围，与+C,看起来很像
- 但从 关系上说，定积分,不定积分 的微分得到 f, f的积分是不定积分，
- 图像上，两个函数可以通过沿y移动重叠，那么它们必然微分相同，差值是C, 它们微分的不定积分 涵盖了他两，而这两个函数在[a,b]上，从a到b的变化是一样的，这个变化是想求的微分的定积分的值
- F(x)=x^2,f(x)=F’(x)=2x, int f(x) = x^2+C 得到了一系列函数, int_1^2 f(x) = 3, 表示 这一系列函数从点x=1到x=2的增量都是3
微积分的第一基本定理：f在[a,b]上连续,F(x) 在(a,b)可导，且F(x)=f(x)
- 那么 $F(x)=\int_{a}^x f(t)dt,x\in[a,b]$
- 函数的导函数围成的面积 = 原函数的增量
微积分第二基本定理, f在[a,b]连续，F是f的任意一个反导数，那么
- $\int_{a}^b f(x)dx=F(b)-F(a)$
- 反导数 也就是 不定积分中任意一个
- $\frac{d}{dx}F(x)=f(x)$那么$\int f(x)dx=F(x)+C$
这里同样 塞一下四则运算
很多例题，包括各种上下限是变量的，
而定积分时还有一个可用的东西，叫做奇偶性，这得益于它是有向的面积
P338有个积分表
这个证明核心 又是“中值定理/介值定理”
18. 积分的方法I（换元，分部，分式）
这一块没有新的数学原理，而是实际应用中，怎么求积分，
换元法： 核心思想是 int f(x) dx 中，如果能把其中一个x的表达式g(x),全部都表示g(x)的表达式，那么就能完成换元
- $\int 2xe^{x^2} dx=\int e^{x^2} d x^2$, 这里 $x^2$可以看成整体$t=x^2$
- $\int \frac{f’(x)}{f(x)}dx = \ln|f(x)|+C$
- $\int x(3x+2)^{1/5} dx$,这里 把$t=(3x+2)^{1/5}$,那么原式=$\int \frac{1}{3}(t^5-2)(t)\frac{5}{3}t^4 dt$
这里理论解释是 复合函数链式求导，的反向积分过程
分部积分法, 同样是来自于微分过程中的逆向操作而已
$\frac{d}{dx}(uv)=v\frac{d}{dx}(u)+u\frac{d}{dx}v$
- $\int u\frac{d}{dx}(v)dx=uv-\int v\frac{d}{dx}(u) dx$
- $\int u dv = uv - \int v du$
部分分式$\int \frac{p(x)}{q(x)}dx$
- 这里的方法还是 多项式 求余法
- 然后 再待定系数法，最终希望是
int 整式子 + 多个\frac{常数}{(x+a)^t}的形式 - 对于 分母是两个不同一次式子时，可以用 线性代数的知识，对分子进行拆分，
- $1/(x^2-1)=1/((x-1)(x+1))$, 分子 =((x+1)-(x-1) )/2
- 总的来说 这样做，不能解决的就是 分母是难以拆的多项式
- 其中特别的 不可拆2次式子可以考虑
- (x+a)/((x+b)^2+c)的形式， 从而化成 d/(t^2+c) 和 t/(t^2+c),就对应 arctan和ln了
- 这一块的感受是，从没想过 tan,ln这些 在微积分之前觉得很远的函数，现在如此近，而这个感觉在后面的泰勒展开和级数的时候会更多
$\int \frac{1}{t^2+a^2}dt=\frac{1}{a}arctan(\frac{t}{a})+C$
19. 积分的方法II（三角）
$cos^2(x)=\frac{1}{2}(1+cos(2x))$
$sin^2(x)=\frac{1}{2}(1-cos(2x))$
核心还是三角的换元，看起来就能完成幂次变换，和表达式变换
$\int sin^ncos^m$,
- 有奇数幂可以拆一个，剩下用sin2+cos2=1换成只有一个的，从而完成换元
- 都是偶幂，用上面的完成降次
$\int tan(x)dx = -\ln |cos(x)|+C$
$tan^2(x)=sec^2(x)-1$
哎，感觉这一块，真的背不到，查表是能查
$\int sec^2(x)dx=tan(x)+C$
$I_n=\int tan^n(x)dx$
$I_0=x+C$
$I_1=-\ln |cos(x)|+C$
$I_n=\frac{1}{n-1}tan^{n-1}(x)-I_{n-2}$ 约化公式
类似的 $I_n=\int_0^{\pi/2} cos^n(x)dx$
$I_n=(n-1)(I_{n-1}-I_n)$
$I_{n}=\frac{n-1}{n}I_{n-2}$
$I_0=\frac{pi}{2},I_1=1$
这一块是对于一些直接求不到，的完成一个形式的递归表达式
$\sqrt{a^2-x^2}$ 换元 $x=a\sin(\theta)$
$\sqrt{a^2+x^2}$ 换元 $x=a\tan(\theta)$
$\sqrt{x^2-a^2}$ 换元 $x=a\sec(\theta)$
整个的核心还是要对 微分结果熟悉
20. 反常积分：基本概念
目标
- 有些函数，在定义域无限时，围成面积有限，（ 例如 等比例的 实数定义域版 $f(x)=(1/2)^x$
- 有些函数，在有限定义域，无限值域时，围成面积有限，（例如$2\sqrt{x}$求导得到的形如$\frac{1}{\sqrt{x}}$在[0,1]
- 其它的都无限
主要希望能计算那些有限的函数
- 那么这里补充定义，如果 [a,b],仅在点a无限，$\int_a^b=\lim_{\epsilon\to 0^+}\int_{a+\epsilon}^b$
- 这里有点（覆盖写入的感觉），也就是积分 前面定义了
[]连续,()可导，以及拆分。而这里补充定义了 单点值域极限的情况，这样定义了$\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}$的值 - 其实 根据前面 对称性，和可拆分性，我们自然的也对一些间断点，破裂点，b出的无穷有了 “自然”的定义 例如 上面要趋于$b-\epsilon$，
- 换个角度思考，那如果就是连续呢，会发现单点的值，不论无不无穷 直接被视作0,也就是当连续时，我们要算(a,b)的积分，也能这样定义
- 这里有点（覆盖写入的感觉），也就是积分 前面定义了
- 同样关于积分范围的无穷定义，也是补充定义$\int_a^{\infty}=\lim_{N\to \infty} \int_{a}^{N}$
- 再换句话说，积分的符号写法是“模糊的”，而为了让模糊的写法，在满足最纯粹
[]连续,()可导以及嵌入四则运算的前提下，补充了一些“更自然”的补充定义
$x\to a,\frac{f(x)}{g(x)}=1$那么称作在点$a$他们相似$f(x)\sim g(x)$
- 关于相似 引入 四则运算
- f
g,hj => fh~gj - 注意的是，加减运算是无法保证的
- tan
x,sinx,但是 tan-sin~0是错的！！之后会引入等价无穷小
- tan
- 这里～的核心是连续的把（值？）捆在不太远的位置，
- 而当都趋于0时，加减的实际内容不是这个（值），而是对捆绑的力度加减
- 当都不趋于0时，加减的实际内容是针对这个值，而这个值的（结果 需要不是0）
有了比较判别法，如果一个积分结果无穷，另一个函数比它大，那么积分也是无穷（核心也是夹击类似的想法）
而这里又是一个重要的 极限
- $\int_a^{\infty} \frac{1}{x^p} dx, a > 0$,
- $p\le 1$时，发散
- $p > 1$时，收敛
- 另外的 $\int_0^a,\frac{1}{x^a}dx a>0$
- p<1 收敛
- $p\ge 1$ 发散
绝对收敛判别法, int|f(x)|收敛，则 int f(x),收敛，核心还是夹挤, -|f(x)| <= f(x) <= |f(x)|,在足够大的n以后左右都趋于0
21. 反常积分：如何解题
- 找所有瑕点，以瑕点切割，切割成多个
[],()，每个里面使用新的或朴素的积分定义计算
x在无穷附近
f(x)的最高幂次 $f(x)~b_ix^{m_i}$
sin,cos 可以用 绝对收敛判别法， $||\le1$
对于 x > 0, $e^{-x} \le \frac{C}{x^n}$,
对于 x > 0, $ln(x)\le Cx^n$
x在0附近
f(x)的最低幂次 $f(x)~b_ix^{m_i}$
sin~x
tan~x
cos~1
$e^x\sim 1$
$e^x-1\sim x$
$|\ln(x)|\le \frac{C}{x^{a}}, a>0$,足够小的a
总的来说这里，在0或者在无穷附近的处理，都希望能变成x的幂次的样子
而需要注意的是加减法的结果不应该是 ~0,否则会有问题(加减的是幅度)
22.数列和级数：基本概念
数列：极限，是一种（可列，无穷）
例如 $f(x)=sin(n)/x^n$, 也可以定义$a_n=sin(n)/x^n$, 那么 这可以看成对函数的无穷方向的 整点采样
感官上显然的，如果函数数列同样表达式，那么函数收敛必然数列收敛，但数列首先可能刚好因为（采样的被采样点特殊）而收敛 函数却不收敛
- $f(x)=sin(2\pin)$
- 这里感官上，是对于 图像的 epsilon和N的理解
连续函数保持极限：
- 和上面不同，f(x)在点a是连续的，那么数列的 采样$a_i=f(t_i)$,然后t_i随着i趋于无穷，采样t趋于a,那么a_i的极限也就是f(a)
重要数列
- $a_n=r^n$, 讨论 r
- （-1,1） 收敛于0
- 1,收敛于1
1, 趋于无穷
- <= -1, 不存在
- $a_n=(1+k/n)^n$, 趋于 $e^k$
series 级数，就是数列的和, 起始有的0,有的1都行
- $\sum_{1}^\infty = \lim_{N\to \infty}\sum_{1}^N$ 称作无穷级数
- $\sum_0^{\infty} {r^n}$
- (-1,1) => $\frac{1}{1-r}$
- 其它的发散
- 从观感上自然的，需要a_n是趋于0的，能判断是发散，（注意只能判断是发散，不能判断收敛，因为这只是收敛的必要条件，不是充分的）
比较判别，类似函数的比较判别 a_n~b_n, 等价于 lim n->\infty, a_n/b_n=1
- 例如 $sin(1/2^n) \sim (1/2)^n$
级数中有新的判别法：比式判别法
- $\lim_{n\to \infty}a_{n+1}/a_n = L < 1$ , 那么收敛，
- 这里核心思想就两个 小于1的等比数列和极限收敛
- 第二比例有极限，所以可以被捆绑在明确小于一个明确小于1的数以内，所以至少是有界的,从而根据柯西的，截取尾部可以和任意小的想法
类似的，还是利用等比数列求和的想法 和 上面的 等价的想法，
- 有了根式判别法 $(a_n)^{\frac{1}{n}}=L<1$
级数的拆分 也有满足的四则运算，
- 不过注意的是
23.求解级数问题
24. 泰勒多项式、泰勒级数和幂级数导论
25. 求解估算问题
26. 泰勒级数和幂级数：如何解题
27. 参数方程和极坐标
28. 复数
29. 体积、弧长和表面积
30. 微分方程
其它
本书出了口语化流畅，细致内容，很多例子，以外，还有很大优点就是图多