一个积分
题目 & 解答
$ \int_0^1 (x-x^2)^n dx$ (换元$t=x-\frac{1}{2}$
$= \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{4} - x^2)^n dx$ (偶函数
$= 2 \int_{0}^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{4} - x^2)^n dx $(换元$t=2x$
$= \frac{1}{4^n}\int_0^1 (1 - x^2)^n dx$(换元$t=sin(x)$
$= \frac{1}{4^n} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - sin(x)^2)^n d(sin(x))$
$= \frac{1}{4^n} \int_0^{\frac{\pi}{2}} cos(x)^{2n+1} d x$ (Wallis'_integrals
$= \frac{1}{4^n} \cdot \frac{2n(2n-2)\cdots 2}{(2n+1)(2n-1)3}$
数学分析 七 典型例题 及 参考资料 速查表
数学分析 五 多元函数微分学
数学分析 三 一元函数积分学
一元函数积分学 3
不定积分和可积函数类 3.1
5.可积函数类 P124
(1) 有理函数可分解成多项式和若干项最简真分式之和,因此有理函数一定可积分
(2) 三角函数 总可用t=tan(pi/2)
将其化为有理函数积分
(3) 积分 R[x, ((ax+b)/(cx+d))^(1/m)]
,其中 (ad-bc!=0,m正整数),令右侧为t可以代换化为有理函数积分
(4) 若 积分 x^m (a+bx^n)^p
,只有p,(m+1)/n,(m+1)/n+p
中有一个为整数时才可积分否则不可
(5) R[x,sqrt(ax^2+bx+c)]
的代换
a>0 -> 右侧 = +-x+t
c>0 -> 右侧 = xt+-sqrt(c)
b^2-4ac>0 -> 右侧 = t(x-根)
例22
https://www.wolframalpha.com/input/?i=int+sqrt%28x%2B1%2Fx%29+dx
常见方法和知识点 三角函数变形吃常数字,看特征,根据上面的方法进行替换,三角函数有tan(x/2)
可以替换