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高等代数 九 线性空间
视频 86-120
线性映射
- 研究 线性映射的运算： 线性映射作为映射，可以做乘法运算，乘积仍是线性映射，还可以定义线性映射的加法和纯法
- 研究 线 线性映射的整体结构： 线性映射的运算，域F上 V到V’的所有线性映射组成的集合，记作Hom(V,V’), 对于线性映射的加法和纯量乘法，成为域F上的一个线性空间，V上所有线性变换组成的集合Hom(V,V) （自身到自身） 即是域F上的线性空间，又是一个有单位元的环
- 研究线性映射的 核 与 象， V到V’的线性映射A的核 Ker A是一V的一个子空间，A的象Im A是V’的一个子空间. 线性映射A的核Ker A可以用来研究线性空间V的结构
- 研究线性映射和线性变换的矩阵表示。
- V上的线性函数以及V的对偶空间V’ (他是V上所有线性函数组成的线性空间)
高等代数 八 线性空间
视频 42-54
线性空间
上来就是我非常讨厌的表达式 $A(\alpha+\beta)=A(\alpha)+A(\beta)$
$A:V\to V’$
$\alpha,\beta \in V$
一个我更喜欢的是 $A(\alpha+{V}\beta)=A(\alpha)+{V’}A(\beta)$
- 即使这样，也不够完全，因为$V$和$V’$ 里都可以 按你需要定义 加法, 也就是对于$V$你可以定义多种加法
- 一个我更喜欢的是 $A(\alpha+{S_1}\beta)=A(\alpha)+{S_2}A(\beta)$ 这样强调两个加法的不同，是两个线性空间中具体的加法
- 或者 $A(\alpha+\beta)=A(\alpha)\oplus A(\beta)$ 也是强调两个加法的不同
- $A(k \cdot_{S_1}\alpha)=k\cdot_{S_2} A(\alpha), k\in F$
那么有加，数量乘法 映射，那么这是一个线性映射
高等代数 七 多项式环
视频066-085
多项式环
半群, 集合G,运算$\oplus$， 例如: 正整数 与 加法
- 封闭性: $\forall a,b \in G, a\oplus b\in G$
- 结合律: $\forall a,b,c, (a\oplus b)\oplus c = a\oplus (b \oplus c)$
幺半群： 半群+幺元: 零元（幺元）: $\forall a, 0\oplus a = a = a\oplus 0$
- 例如所有非负整数 与 加法
群: 幺半群 + 逆元, $\forall a, \exists b, a\oplus b=0=b\oplus a$
- 有了逆元可以 用语法糖定义减法，
- 例如所有整数与加法，
- 注意的是 加法是有交换律的
- 这里一个例子是 排列， S_3 = { (123),(132),(213),(231),(312),(321) }, 其中 $ijk$ 表示把第1个放到i，第2各放到j,第3各放到k
- $(a_1a_2a_3)\oplus (b_1b_2b_3) = (a_{b_1}a_{b_2}a_{b_3})$
- 封闭性显然 因为每次取出1,2,3放回也是3个位置
- 幺元 (123)
- 逆元 $(a_1a_2a_3)$的逆元$B[a_1]=1,B[a_2]=2,B[a_3]=3$
- 不满足交换律
- $(a=(132))\oplus(213) = (a_2a_1a_3) =(312)$
- $(a=(213))\oplus(132) = (a_1a_3a_2) =(231)$
交换群(阿贝尔群): 群+交换律, $\forall a,b, a\oplus b=b\oplus a$
- 例如所有整数与加法
环，集合G,运算$\oplus,\otimes$, 例如整数环 与 加法 乘法
- $<G,\oplus>$ 是交换群
- 分配率(特殊！不是群相关的性质) $\forall a,b,c, a\otimes(b\oplus c)=(a\otimes b)\oplus (a\otimes c)$
- $<G,\otimes>$ 是幺半群
域, 集合G,运算$\oplus,\otimes$ 没有整数域，因为整数的幺元是1, 比如2在整数中没有逆元，有理数域
- $<G,\oplus>$ 是交换群
- 分配率(同上)
- $<G,\otimes>$ 是交换群， 除去$<G,\oplus>$的零元 均有$\otimes$ 逆元
- 于是可以用语法糖定义除法
高等代数 六 二次型 矩阵的合同
二次型，矩阵的合同
把$f(x_1,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j$ 表示成对称矩阵A, 其中$a_{ij} = a_{ji}$
则称A是二次型矩阵, 显然它唯一，非对角的系数是
$f()=x^TAx$
若 $x=Cy$,且$C$可逆，那么陈果一个非退化线性替换，（简单说可以换回来一一对应
$f()=(Cy)^TA(Cy)=y^T(C^TAC)y$
定义2. $x^TAx$和$y^TBy$ 如果能通过$x=Cy$得到，其中$C$是可逆的，那么这两个二次型等价,
- => $A$和$B$合同
- 标准型 转化成$\Lambda$ 特征值对角阵 $=\sum_{i=1}^n \lambda_iy_i^2$
- 这里实际上就是 多元二次表达式的配方，因为 最初的变换 行变换对应消行，列变换对应新增变量（配变量），而这里是一种行列空间同步变化的过程
- 标准型 中 rank = 非零特征值个数