典型综合题分析 7

定理

康托定理

若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上一致连续。换言之，在闭区间上连续的函数在该闭区间一致连续。

采用反证法。

假设$f(x)$在$[a,b]$上非一致连续，由非一致连续定义可知存在$\epsilon_0 > 0$及两点列$${x’_n}$$和$${x’’_n}$$，$$x’_n,x’’_n\in[a,b]$$，满足

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多元函数积分学 6

重积分的概念与性质、重积分化累次积分

多元函数微分学 5

欧式空间、多元函数的极限与连续

$\bar{E} = ((E^c)^o)^c$

全面极限（所有方向），累次极限（先极限一部分再极限另一部分），二重极限（同时?）

二重极限存在,对应的累次极限不一定存在

例如lim(x,y)→(0,0)(xsin(1/y)+ysin(1/x))=0

对应的两个累次极限limx→0(limy→0(xsin(1/y)+ysin(1/x)))和limy→0(limx→0(xsin(1/y)+ysin(1/x)))都不存在

级数 4

级数敛散判别法与性质、上极限与下极限

-P224

数列和

绝对收敛 条件收敛

柯西收敛准则

定理3 (柯西判别法)

若 $lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} = r $, $r<1$级数收敛,$r>1$级数发散

定理4 (达朗贝尔判别法) ,比值极限和1的关系

级数 为单调递减(x>=1)函数上的取值点 ，与广义积分同时收敛发散

莱布尼茨判别法, 正负奇偶项,an单调下降趋近0 收敛

狄利克雷判别法 , $sum_{n=1}^{\infty} {a_n*b_n}$ , $b_n$的级数 有界(不要求收敛) ,$a_n$单调下降收敛于0,则 乘积级数收敛

阿贝尔判别法, $sum_{n=1}^{\infty} {a_n*b_n}$ , $b_n$的级数收敛, $a_n$单调有界,则乘积级数收敛

// 这两个和上一章(广义积分)的判别中很像

柯西乘积:在数学上，以法国数学家奥古斯丁·路易·柯西命名的柯西乘积，是指两组数列{\displaystyle a_{n},b_{n}}的离散卷积

一元函数积分学 3

不定积分和可积函数类 3.1

5.可积函数类 P124

(1) 有理函数可分解成多项式和若干项最简真分式之和，因此有理函数一定可积分

(2) 三角函数 总可用t=tan(pi/2)将其化为有理函数积分

(3) 积分 R[x, ((ax+b)/(cx+d))^(1/m)],其中 (ad-bc!=0,m正整数)，令右侧为t可以代换化为有理函数积分

(4) 若 积分 x^m (a+bx^n)^p,只有p,(m+1)/n,(m+1)/n+p中有一个为整数时才可积分否则不可

(5) R[x,sqrt(ax^2+bx+c)]的代换

a>0 -> 右侧 = +-x+t

c>0 -> 右侧 = xt+-sqrt(c)

b^2-4ac>0 -> 右侧 = t(x-根)

例22

https://www.wolframalpha.com/input/?i=int+sqrt%28x%2B1%2Fx%29+dx

常见方法和知识点 三角函数变形吃常数字，看特征，根据上面的方法进行替换，三角函数有tan(x/2)可以替换

一元函数微分学 2

导数与微分 2.1

题目 2.1.3

设$f(x)$在点$x_0$处可导,$\alpha_n$,$\beta_n$为趋于零的正数序列，求证:

$\lim\limits_{\substack{n\rightarrow \infty }}\frac{f(x_0+\alpha_n)-f(x_0+\beta_n)}{\alpha_n-\beta_n} = f’(x_0)$

分析基础 1

序列极限 1.3

题目 1.3.4

设 $$A>0,x_1>0,x_{n+1}=\frac12(x_n+\frac A{x_n}) (n=1,2,\dots)$$

(1) 求证: $$x_n$$单调下降且有下界

(2) 求$$lim_{n->\infty}x_n$$