有很多细则这里不一定提及(比如十三幺可以抢按杠,比如宝牌), 主要还是常见普适一点的内容

基础

他立任他立,我当他没立

ISBN 9787040364729

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定理

对于奇素数$p$有能被表示成$p = a^2+b^2$和$p = 4k+1$为充要条件

证明

一定不是$4k+3$

众所周知

$(4k+0)^2 \equiv 0 \pmod 4$

$(4k+1)^2 \equiv 1 \pmod 4$

$(4k+2)^2 \equiv 0 \pmod 4$

$(4k+3)^2 \equiv 1 \pmod 4$

所以

$a^2 + b^2 \not\equiv 3 \pmod 4$

那么有了充分, 如果$p = a^2+b^2$则一定$p = 4k+1$

$p=4k+1 \to p=a^2+b^2$

现在问题剩下就是如果 奇素数$p = 4k+1$, 如何证明它可以被表示成$a^2+b^2$

Euler’s proof by infinite descent

如果两个整数都能表示为两个平方数之和，则它们的积也能表示为两个平方数之和

Brahmagupta-Fibonacci Identity

$(a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2$

只有$ad=bc$ 时右侧有0的平方 , 也就是两个整数成$c^2/a^2$的倍数

视频 p145 - 151 （最后有一个整个学期回顾）

多重线性代数

视频121-144

具有度量的线性空间

考虑在线性空间中 增加长度而概念

视频 86-120

线性映射

1. 研究 线性映射的运算： 线性映射作为映射，可以做乘法运算，乘积仍是线性映射，还可以定义线性映射的加法和纯法
2. 研究 线 线性映射的整体结构： 线性映射的运算，域F上 V到V’的所有线性映射组成的集合，记作Hom(V,V’), 对于线性映射的加法和纯量乘法，成为域F上的一个线性空间，V上所有线性变换组成的集合Hom(V,V) （自身到自身） 即是域F上的线性空间，又是一个有单位元的环
3. 研究线性映射的 核 与 象， V到V’的线性映射A的核 Ker A是一V的一个子空间，A的象Im A是V’的一个子空间. 线性映射A的核Ker A可以用来研究线性空间V的结构
4. 研究线性映射和线性变换的矩阵表示。
5. V上的线性函数以及V的对偶空间V’ (他是V上所有线性函数组成的线性空间)

视频 42-54

线性空间

上来就是我非常讨厌的表达式 $A(\alpha+\beta)=A(\alpha)+A(\beta)$

$A:V\to V’$

$\alpha,\beta \in V$

一个我更喜欢的是 $A(\alpha+{V}\beta)=A(\alpha)+{V’}A(\beta)$

• 即使这样，也不够完全，因为$V$和$V’$ 里都可以 按你需要定义 加法, 也就是对于$V$你可以定义多种加法
• 一个我更喜欢的是 $A(\alpha+{S_1}\beta)=A(\alpha)+{S_2}A(\beta)$ 这样强调两个加法的不同，是两个线性空间中具体的加法
• 或者 $A(\alpha+\beta)=A(\alpha)\oplus A(\beta)$ 也是强调两个加法的不同
• $A(k \cdot_{S_1}\alpha)=k\cdot_{S_2} A(\alpha), k\in F$

那么有加，数量乘法 映射，那么这是一个线性映射