牛顿恒等式
问题
TLDR: 更系统的内容 在 高等代数 7.10 多项式环-对称多项式
问题1
$x=1$
$x^2=?$
$x^m=?, m \ge 1, m \in \mathbb{Z}$
问题2
$x+y=1$
$x^2+y^2=2$
$x^3+y^3=?$
$x^m+y^m=?, m \ge 2, m \in \mathbb{Z}$
问题3
$x+y+z=1$
$x^2+y^2+z^2=2$
$x^3+y^3+z^3=3$
$x^4+y^4+z^4=?$
$x^m+y^m+z^m=?, m \ge 3, m \in \mathbb{Z}$
问题n
$\sum_{i=0}^n x_i=1$
$\sum_{i=0}^n x_i^2=2$
$\cdots$
$\sum_{i=0}^n x_i^n=n$
$\sum_{i=0}^n x_i^{n+1}=?$
$\sum_{i=0}^n x_i^{m}=?, m \ge n, m \in \mathbb{Z}$
TLDR
例如3阶 已知
$S_i=x^i+y^i+z^i$
$c_0=n$
$\displaystyle c_k=-\frac{\sum_{i=1}^k S_i c_{k-i}}{k}, k\le n$
例如 3阶 $X=[-\frac{c_1}{c_0},-\frac{c_2}{c_0},-\frac{c_3}{c_0};1,0,0;0,1,0]$
1 | [V,D]=eig(X) % D是对角特征值矩阵，V是特征向量对应位置组成的矩阵 |
$x^k+y^k+z^k = S_k = [1;0;0] * V * D^{k-3} * V^{-1} * [3;2;1]$