YeXiaoRain's Math

Walter Rudin 数学分析原理 6 Riemann-Stieltjes积分

發表於 2025-02-24 更新於 2025-04-25 分類於数学分析 Disqus：文章字數： 13k 所需閱讀時間 ≈ 12 分鐘

先讨论区间上实值函数的积分，

6.1 let [a,b] be a given interval. by a partition P of [a,b] we mean a finite set of points $x_0,\cdots,x_n$ where

$a = x_0 \le x_1 \le \cdots \le x_{n-1} \le x_n=b$
令 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$
假设f is a bounded real function defined on [a,b]. Corresponding to each partition P of [a,b] we put
$M_i=\sup f(x)$ $x_{i-1}\le x \le x_i$ 每个区间上确界
$m_i=\inf f(x)$ $x_{i-1}\le x \le x_i$ 每个区间下确界
- $U(P,f)=\sum_{i=1}^n M_i\Delta x_i$ 这个和不小于原来的面积, 上和上积分
- $L(P,f)=\sum_{i=1}^n m_i\Delta x_i$ 这个和不大于原来的面积，下和下积分
- $\bar{\int_a^b} f dx = \inf U(P,f)$ 上和的下确界, 称作 upper Riemann integrals of f
- $\underline{\int}_a^b f dx = \sup L(P,f)$ 下和的上确界 ,称作 lower Riemann integrals of f (这个tex怎么打啊??
- over [a,b]
- 如果 upper = lower ,那么称f is Riemann-integrable on [a,b] , $f\in \mathscr{R}$ ,, (mathscr)
  - 记作$\int_a^b f(x) dx$
  - 因为假设 $f$ is a bounded real function, 所以存在$m,M$, 使得$m \le f([a,b])\le M$
  - $m(b-a)\le L(P,f)\le U(P,f) \le M(b-a)$ 注意的是，这个条件并不要求黎曼积分存在，这是描述f上下界与下和上和的大小关系
    - 也就是有界函数f,上积分和下积分都有定义

發表於 2025-02-17 更新於 2025-04-25 分類於数学分析 Disqus：文章字數： 4.7k 所需閱讀時間 ≈ 4 分鐘

5.1 Let f be defined (and real-valued) on [a,b], For any x in [a,b] form the quotient

$\phi(t)=\frac{f(t)-f(x)}{t-x}, a < t < b,t\neq x$
define: $f’(x)=\lim_{t\to x} \phi(t)$ 需要右侧存在， called the derivative导函数 of f
如果 $f’(x)$ 在点x定义, 称f is differentiable at x, 如果逐点 differentiable, 则称E上 differentiable
类似的，可以在点讨论导函数左右极限，可以引出左导数右导数

發表於 2025-02-10 更新於 2025-04-25 分類於数学分析 Disqus：文章字數： 6.2k 所需閱讀時間 ≈ 6 分鐘

4.1 X,Y是度量空间, $E\subset X$,f maps E into Y，p是E的极限点. We write $f(x) \to q$ as $x \to p$, or

$\lim_{x\to p} f(x)=q$
这里是可以在度量空间X通过控制p的距离（邻域）$0<d_X(x,p) < \delta$，来控制在度量空间Y中$d_Y(f(x),q) < \epsilon$的距离
注意1: $p\in X$ 不一定$p\in E$,
注意2: 关注的是邻域不含中心点的 $0 < d_X(x,p)$, 所以 $f(p)\neq \lim_{x\to p}f(x)$ 也是可能的

發表於 2025-02-03 更新於 2025-04-25 分類於数学分析 Disqus：文章字數： 6.9k 所需閱讀時間 ≈ 6 分鐘

3.1 数列收敛converge，能找到p，对于任意给定距离需求，可以通过N来控制 $|a_{n>N}-p|<$距离需求

發表於 2025-01-27 更新於 2025-04-25 分類於数学分析 Disqus：文章字數： 4.3k 所需閱讀時間 ≈ 4 分鐘

2.1 A,B 都是 sets, A中x和B中一个元素关联associated, f(x)表示，f is said to be a function from A to B(or mapping of A into B).

the set A is called the domain of f(we also say f is defined on A)
and the elements f(x) are called the values of f. the set of all values of f is called the range of f