Walter Rudin 数学分析原理 2 基础拓扑

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基础拓扑 Basic topology

有限集、可数集和不可数集

2.1 A,B 都是 sets, A中x和B中一个元素关联associated, f(x)表示，f is said to be a function from A to B(or mapping of A into B).

  • the set A is called the domain of f(we also say f is defined on A)
  • and the elements f(x) are called the values of f. the set of all values of f is called the range of f

2.2 $E\subset A$, f(E) is defined to be the set of all elements f(x),for x in E. we call f(E) the image of E under f.

  • f(A) is the range of f
  • $f(A) \subset B$, if f(A)=B ,we say that f maps A onto B
    • onto is more specific than into
  • inverse image of E under f: $F\subset B,f^{-1}(F)=\lbrace x| x\in A,f(x)\in F \rbrace$
  • for each y in B, if $f^{-1}(y)$ 至多一个, then f is said to be 1-1(one-to-one) mapping of A into B
    • f is a 1-1 mapping of A into B provided that f(x1) neq f(x2) whenever x1 neq x2

2.3 if 1-1 mapping A onto B, we say that A and B can be put in 1-1 correspondence

  • or that A and B have the same cardinal number 基数
  • or, briefly, that A and B are equivalent 等价
  • 写作 A~B
    • reflexive 自反性 A~A
    • symmetric 对称性 AB then BA
    • transitive 传递性 AB,BC then A~C
    • 同时满足这三个，称作 equivalence relation 等价关系

2.4 正整数n, 令$J_n=${1,…,n},令$J$表示全体正整数

  • finite有限, A~$J_n$ 对于某个n ，空集合也是有限集合
    • infinite 无限： 不是有限
  • countable 可数, if A ~ J
  • uncountable 不可数, neither finite nor countable
  • at most countable if A is finite or countable

2.6 有限集无法和它真子集(proper subsets)等价

  • 如果一个集合和自己的真子集等价，那么它是无限的

2.7 序列 sequence, $f(n)=x_n$, 定义在J上的，有时会用下标从0开始

2.8 定理 可数集A的每个无限子集也是可数集

2.9 定义 A, B 是集合, A中任意元素a is associated a subset of B which we denote by $E_a$

  • 记作 {E_a}
  • instead of speaking of sets of sets, we shall sometimes speak of a collection of sets, or a family of sets
  • union of E_a: $S=\cup_{a\in A}E_a$
  • intersection of E_a: $S=\cap_{a\in A}E_a$
  • 注意的是 如果A可数/可列，那么可以写成 下标的形式，例如$\cup_{i=1}^n$
  • intersect: $A\cap B$ is not empty
    • otherwise they are disjoint

2.11 一些 交并运算

2.12 可数集的可数并是可数集：斜对角法+定理2.8
- 2.13 {a_i}可数, 由其元素构成的n元组可数
- 有理数可数

2.14 Let A be the set of all sequences whose elements are the digits 0 and 1 then set A is uncountable

  • Cantor 对角矛盾反证法（这在证明无理数不可数时也出现过，
  • 二进制表示法的一个理解

度量空间 Metric space

2.15 距离distance: d(p,q)

  • 同点0,非同点正
  • 对称性
  • 最近性: d(p,q)<=d(p,r)+d(r,q)
  • distance function 满足上述三个条件，或者称作metric(度量)

2.17 segment(a,b) we mean the set of all real numbers x such that a < x < b

  • 其它 中括号小括号记法
  • convex凸: x,y in E,0 < lambda < 1 则 lambda x + (1-lambda) y \in E

2.18 度量空间中

  • neighborhood 邻域, 通过 点 半径 距离函数来定义
    • 例如$R^1$中开区间
    • $R^2$中圆内部
  • limit point 极限点, E的极限点p：p的任意邻域有E中非p的点q
    • 记作 E’
    • 非 limit point, 称作isolated point of E孤立点
    • closed闭集 every limit point of E in E
  • interior point内点, 存在r,使得邻域全属于E
    • open: 所有点都是内点
  • complement of E($E^c$) 补集, 通过点的属于来定义
  • perfect 完全的（完备集？） closed and 所有点都是极限点
  • bounded, 某点+某半径覆盖所有点
  • dense 稠密: E在X中稠密，X的每个点都是 E的极限点或E的点

2.19 邻域是开集

2.20 极限点任意邻域有无穷多点

  • 定义是任意邻域有非自身的点，而有限能取min,
  • corollay. 有限集没有极限点

2.22 并的补 = 补的交

2.23 开的补是闭，闭的补是开

2.24

  • 开的任意并是开
  • 闭的任意交是闭
  • 开的有限交是开
  • 闭的有限并是闭
    • 见普林斯顿那本书的笔记，核心还是有限时有min可取，无限会破坏这个min，从而破坏 “一致性”
    • $[0,1/n)$

2.26 closure(E), 闭包

  • $\bar{E}=E\cup E’$ ，E和E的极限点集的并
    • 可以看成对E进行一个运算后的结果
  • 性质
    • 闭包 是 闭集
    • $E=\bar{E}$当且仅当E是闭集
    • F是闭集, $E \in F$则 $\bar{E}\subset F$ ，也就是 闭集的子集的极限点不会超出原来的闭集

2.28 非空 实数集E 且 bounded above , y = sup E , then $y \in \bar{E}$, 也就是从有序集合角度看上去的上确界，是在拓扑角度看上去的闭包中

2.29 开区间在R1上是开集，在R2上不是开集，open relative to

  • E subset Y subset X
    • 开区间 subset R1 subset R2
  • X 度量空间, Y有着和X同样的度量函数/距离函数, 那么可以用 距离函数 定义在Y上的相对开集

2.30 theorem 若 $Y\subset X$ , a subset E of Y is open relative to Y if and only if E = Y cap G for some open subset G of X

  • 利用2.24 开的任意并是开 以及 邻域选点+半径，构造 G=cup X中邻域(p,按照Y要求选的半径)

紧集 compact sets

2.31 开覆盖open cover: E subset cup E_a

2.32 紧compact: every open cover of K contains a finite subcover

  • 任意 开覆盖 有 有限 子覆盖
    • 注意 任意 而不是存在
    • 后面是 有限

2.33 $K\subset Y\subset X$ , K关于X是紧的当且仅当 K关于Y是紧的

2.34 度量空间紧子集是闭集

  • 证明其补是开集，找r= 1/2 距离再三角不等式

2.35 紧集的闭子集都是紧集

  • 闭子集任意开覆盖 加上 闭子集的补 覆盖紧集，存在一个有限子覆盖，其中不含 闭子集的补的部分覆盖了闭子集

2.36 {紧子集} 任意有限交 非空，那么 {紧子集} 的任意交非空

  • 反证：k1 中任意点都不存在于所有集合中，其它的补对k1形成开覆盖，紧所有有限个其它的补对k1开覆盖，这些与k1交为空

2.37 E是紧集K的无限子集，那么E在K中有极限点

  • 反证：如果没有极限点，那么K中所有点可以开一个半径至多含有一个E中的点，从而有有限开覆盖覆盖了无穷多点的E,而每个开覆盖又只覆盖了一个点，

2.38 R1中可数闭区间套的可数交非空

  • sup 左端点 显然属于其中
  • 2.39 $R^k$ 中的 可数闭区间套的可数交非空
    • 每个维度是独立的

2.40 每个k-方格(k-cell)是紧集

  • 反证法：无限格子套 + 1/2 切割长度 + 邻域控制
  • 从而 k-方格 任意开覆盖总是有有限子覆盖，所以紧

2.41 heine-borel定理

  • $\mathbb{R}^k$中
    • 闭+有界
    • 紧
    • E的每个无限子集 在 E 内有极限点
    • 这三个等价

2.42 weierstrass定理 $\mathbb{R}^k$中每个有界无限子集在$\mathbb{R}^k$中有极限点

完备集，完全集perfect sets

2.43 $\mathbb{R}^k$中非空完全集P 不可数

  • 无限显然
  • 如果可数，那么有排列
  • 那么按照顺序，构造嵌套邻域（如果 不在上次构造的邻域中，那么跳过这个点），排除上一个点
    • 这样我们可以构造出 新邻域的闭包 属于 旧邻域，的无限嵌套，相对于P的交也是无限嵌套，
    • 因为每次排除点，认为无限交应该是空，但另一方面嵌套非空紧集无限交非空

(勘误?) 这里中英文书感觉，都漏了一步叫做 $K_n = \bar{V_n} \cap P$ , $\bar{V_n}$是有界闭集，所以紧

2.44 cantor set

  • 每次 3等分去掉中间段
  • 无限交是无限多点集合
  • 是紧的
  • 不含任何线段
  • 无孤立点
  • 不可数的0测度集的例子

连通集 connected sets

2.45 separated 分开的 $\bar{A}\cap B=\varnothing ,A\cap \bar{B}=\varnothing$

  • connected: 不是分开的

2.47 R1中 connected 当且仅当 x,y in E，那么 x,y之间的in E