数学分析 四 级数
级数 4
级数敛散判别法与性质、上极限与下极限
-P224
数列和
绝对收敛 条件收敛
柯西收敛准则
定理3 (柯西判别法)
若 $lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} = r $, $r<1$级数收敛,$r>1$级数发散
定理4 (达朗贝尔判别法) ,比值极限和1的关系
级数 为单调递减(x>=1)函数上的取值点 ，与广义积分同时收敛发散
莱布尼茨判别法, 正负奇偶项,an单调下降趋近0 收敛
狄利克雷判别法 , $sum_{n=1}^{\infty} {a_n*b_n}$ , $b_n$的级数 有界(不要求收敛) ,$a_n$单调下降收敛于0,则 乘积级数收敛
阿贝尔判别法, $sum_{n=1}^{\infty} {a_n*b_n}$ , $b_n$的级数收敛, $a_n$单调有界,则乘积级数收敛
// 这两个和上一章(广义积分)的判别中很像
柯西乘积:在数学上，以法国数学家奥古斯丁·路易·柯西命名的柯西乘积，是指两组数列{\displaystyle a_{n},b_{n}}的离散卷积
5 两个绝对收敛级数乘积????
上下极限性质，性质4 的中间 怎么证明?
7 为什么是 有限项不是零项
单调递减的等价无穷小 然后和积分同敛散
证明 $\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}$ 趋于0
$a_n \le \frac{1}{a_n(2n+1)}$ // 各项分子分母+1
得到 $0 < a_n \le \frac{1}{\sqrt{2n+1}} $
解法: an/sn形式的用分点,
直接证明不了，进行拆分，拆分成 收敛数列的和,或者收敛+发散再得出 原数列
绝对+绝对=绝对
绝对+条件=条件
重排相关: 绝对收敛->重排收敛 和相等
条件收敛->不改顺序,可以组合
发散: ->重排后不一定?
例12 重排后级数会变!?
4.1.3.(3，4) 同例题找一个明确收敛的，然后做比值小于1
题目 4.1.4 (6)
讨论收敛性 $\sum_{n=1}^{\infty} (sqrt[n]n-1)^p , (p>0)$
题目 4.1.10(1,2,3,4)
题目 4.1.15
题目 4.1.16
题目 4.1.17
题目 4.1.23
题目 4.1.25(2)
函数级数
狄利克雷 在 广义积分收敛，级数收敛，一致性收敛，都是 一部分的和的极限的绝对值有界, |sum{b_n}|<=M，{a_n} 单调下降趋于0 或者 一致收敛于0,等，有结果 sum{a_n*b_n} 有满足性质
形式 |sum{}有界限| *单调趋近零
阿贝尔 同样在 广义积分收敛，级数收敛，一致性收敛，一部分和bn一致收敛，另一个的每一项 有界限， 则 sum{a_n*b_n}一致收敛
形式: (sum{}有性质) *单调有界限
柯西条件的 p=1时就是单项的 特例了！
例11
题目4.2.2
题目4.2.4
题目4.2.5
连续 拆分点?
题目4.2.16
题目4.2.17
幂级数
阿贝尔引理