数学分析 三 一元函数积分学
一元函数积分学 3
不定积分和可积函数类 3.1
5.可积函数类 P124
(1) 有理函数可分解成多项式和若干项最简真分式之和，因此有理函数一定可积分
(2) 三角函数 总可用t=tan(pi/2)将其化为有理函数积分
(3) 积分 R[x, ((ax+b)/(cx+d))^(1/m)],其中 (ad-bc!=0,m正整数)，令右侧为t可以代换化为有理函数积分
(4) 若 积分 x^m (a+bx^n)^p,只有p,(m+1)/n,(m+1)/n+p中有一个为整数时才可积分否则不可
(5) R[x,sqrt(ax^2+bx+c)]的代换
a>0 -> 右侧 = +-x+t
c>0 -> 右侧 = xt+-sqrt(c)
b^2-4ac>0 -> 右侧 = t(x-根)
例22
https://www.wolframalpha.com/input/?i=int+sqrt%28x%2B1%2Fx%29+dx
常见方法和知识点 三角函数变形吃常数字，看特征，根据上面的方法进行替换，三角函数有tan(x/2)可以替换
题目 3.1.5 (10)
题目 3.1.8 (3,4)
题目 3.1.13 (4,5,6)
题目 3.1.13 (3,4)
定积分概念、可积条件与定积分性质 3.2
R[a,b] 在 [a,b]上可积
任意划分 zhengfu 趋近0,大和 = 小和
乘积可积性
方法: 二次不等式判别公式, 积分中值定理
题目 3.2.10
变限定积分、微积分基本定理、定积分的换元法 3.3
P161/473
连续函数一定可积,积分后一定可微
[a,b]上
f(x)可积分,F(x)连续 有限个点外 F’(x) = f(x)
有 积分 = F(b)-f(a)
换元积分法的前提是？？？？TODO 反函数存在? 一一映射? 导函数也存在?
3.3.6 带积分余项的泰勒公式
3.3.7 积分第二中值定理
例3 函数可积 并不保证 其积分的任意点可导
例11 绝对值积分不等式 变换 为 |(v(x)f(x))’|
泰勒展开 再积分 常数积分= 常数×积分长度 和 变量式子积分相等 抵消为0,其实是靠中值展开
方法有 中值定理进行替换
假设 最值点坐标 进行推导
!! 注意 一定要记住一些 特殊点 端点是否可行，可能是 “错误”的证明， 能找到不符合条件的情况
粗略看过了 实变后, 这个例25 看着就好怪啊 这个连续性质的使用？
例34 证明 pi是 无理数
题目 3.3.19
题目 3.3.20
定积分的应用 3.4
面积微元,弧长微元
参数的面积公式为什么 1/2 * (xdy-ydx) 表示什么
古鲁金 第一第二定理
曲率公式
辛卜森公式, https://en.wikipedia.org/wiki/Simpson%27s_rule
广义积分 3.5
3.广义积分收敛判别法