数学分析 二 一元函数微分学

一元函数微分学 2

导数与微分 2.1

题目 2.1.3

设$f(x)$在点$x_0$处可导,$\alpha_n$,$\beta_n$为趋于零的正数序列，求证:

$\lim\limits_{\substack{n\rightarrow \infty }}\frac{f(x_0+\alpha_n)-f(x_0+\beta_n)}{\alpha_n-\beta_n} = f’(x_0)$

题目 2.1.7

设曲线由隐式方程 $\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}=\sqrt[3]{a^2} (a>0)$给出

(1) 求证: 曲线的切线被坐标轴所截的长度为一常数

(2)写出曲线的参数形式，利用参数式求导给出上一小提的另一证法

题目 2.1.8

已知 参数方程 $x=a[ln(tan\frac{t}{2})+cos(t)],y=a\cdot sin(t) (a>0,0 < t <\pi)$

求证，任意切线上，自切点至该切线与x轴交点之间的切线段为定长

题目 2.1.13

设 $y=x^{n-1}ln(x)$ 求证$y^{(n)}=\frac{(n-1)!}{x}$

题目 2.1.14

求证：双纽线$r^2=a^2 cos 2\theta$的向径与切线的夹角等于极角的两倍加$\frac{\pi}{2}$

微分中值定理 2.2

题目 2.2.5

设f(x)在(a,b)内二阶可导，且$x_0 \in (a,b)$使得$f’’(x_0)\neq 0$求证:

(1) 如果$f’(x_0)=0$，则存在$x_1,x_2\in(a,b)$使得$f(x_1)-f(x_2)=0$

(2) 如果$f’(x_0)\neq0$，则存在$x_1,x_2\in(a,b)$，使得$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=f’(x_0)$

题目 2.2.9

设函数f(x)在$[a,b]$上可导，且$f’(a)=f’(b)$,求证$\exists c\in(a,b)$使得$f(c)-f(a)=(c-a)f’(c)$

和例12比，把$=0$去掉

题目 2.2.10

设$f(x)$在$(0,1]$上可导,且存在有限极限 $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0+0 }}\sqrt xf’(x)$,求证f(x)在(0,1]上一致连续

例17

设f(x)在$[-2,2]$上连续，在(-2,2)上二阶可导，且$|f(x)|\leq 1,f’(0) > 1$,求证:存在 $\epsilon \in (-2,2)$使得$f’’(\epsilon) = 0$

函数的升降、极值、最值问题 2.3

题目 2.3.3

题目 2.3.6

题目 2.3.9

函数的图形、拐点及函数作图 2.4

题目 2.4.4

洛必达法则与泰勒公式 2.5

题目 2.5.4

题目 2.5.7

题目 2.5.10

一元函数微分学的综合应用 2.6

P121 132/473

题目 2.6.5

$ln(2n+1)-ln(2n)+n ln(n+1) - n ln(n) > 1$

$= 1/(2n+1) - 1/(2n) + ln(n+1)-ln(n) - 1/(n+1) > 0$

单增

$1/3 - 1/2 + ln2 - 1/2 = ln2 - 2/3 < 0$

??

题目 2.6.7

$= 2a - e^x$ 单减

$x= ln(2a)$ 时 为 0

$= 2ax-e^x$

$(0,ln(2a)) $单增 , $(ln(2a),+\infty)$ 单减

极大值 $2aln(2a) - 2a = 2a(ln(2a/e))$

$ax^2-e^x = 0$

$x \to -\infty , +\infty$

$x \to +\infty , -\infty$

$a < e/2$ ，单减 1根

$a \ge e/2$, 减 增 减??