数学分析 一 分析基础
分析基础 1
序列极限 1.3
题目 1.3.4
设 $$A>0,x_1>0,x_{n+1}=\frac12(x_n+\frac A{x_n}) (n=1,2,\dots)$$
(1) 求证: $$x_n$$单调下降且有下界
(2) 求$$lim_{n->\infty}x_n$$
题解
(1) 显然 $$x_n \geq \sqrt A (n\geq2)$$
有 $$x_{n+1}-x_n = \frac12(\frac A{x_n}-x_n) = \frac12 \cdot \frac {(\sqrt A - x_n)(\sqrt A + x_n)}{x_n} \leq 0 (n\geq2)$$
(2) 设极限为a,带入原式子,则 推出$$a=\sqrt A$$
题目 1.3.9
求证 $$lim_{n->\infty}[\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}]^2\cdot\frac1{2n+1}$$极限存在
题解
$$a_n = lim_{n->\infty}[\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}]^2\cdot\frac1{2n+1} > 0$$
$$ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+1)^3}{(2n+2)^2\cdot (2n+3)} < 1$$
单调递减 有下界限
从 $$ln a_{n+1} - ln a_n$$ 上看 说明 $$ln a_{n}$$ 趋于 $$-\infty$$ , $$a_n$$极限为$$0$$
总感觉有地方没有说清楚
函数极限与连续概念 1.4
题目 1.4.3
设 $$ 0<x_n<+\infty $$,且满足 $$ x_n+\frac 4 {x_{n+1}^2} < 3 $$, 求出此极限值。
题解
由题目显然有 $$\frac{2\sqrt3}3 < x_n < 3$$
$$x_{n+1}-x_n > \frac {x_{n+1}^3-3_{n+1}^2+4}{x_{n+1}^2} = \frac {(x_{n+1}+1)(x_{n+1}-2)^2}{x_{n+1}^2} \ge 0 $$
单调递增 有上界
如果 $x_n > 2$ 令 $x_n = 2+y_n,1 > y_n > 0$ , $y_n$单调递增
如果 $$x_n = 2$$ 有 $x_{n+1} > 2$ 取 $ n = n+1$
$$x_{n+1}-x_n > \frac {(x_{n+1}+1)(x_{n+1}-2)^2}{x_{n+1}^2} > \frac {(2+1)y_{n+1}^2}{3^2} $$
$m-n > \frac{3}{y_{n+1}^2}$时, 存在 $y_m > 3$
$$\therefore \frac{2\sqrt3}3 < x_n < 2$$
如果 $x_n < 2$ 令 $x_n = 2-y_n,2-\frac{2\sqrt3}3 > y_n > 0$ , $y_n$也单调递减
$$(-y_{n+1}) - (-y_{n}) > x_{n+1}-x_n > \frac {(x_{n+1}+1)(x_{n+1}-2)^2}{x_{n+1}^2} > \frac {2 y_{n+1}^2}{2^2} $$
$$ y_n > y_{n+1} + \frac{y_{n+1}^2}{2} $$
$$ y_{n+1} < \sqrt{2y_n+1} -1 = \frac {2y_n}{\sqrt{2y_n+1}+1} < $$
然后呢????
还是说 简单说 所有 小于2 都不是定点都会增大,但所有增大的结果都小于2 ?,或者说 假设一个小于2的为 极致 用反证 唯一？
数列有极限
所以 不等式也有极限 $$lim$$
题目 1.4.12
设序列$${x_n}$$由如下迭代产生:
$$x_1=\frac12,x_{n+1} = x_n^2 + x_n (n=1,2,\dots)$$
求证 $$lim_{n->\infty}(\frac1{1+x_1}+\frac1{1+x_2}+\cdot+\frac1{1+x_n})=2$$
题解 ???
比区间上连续函数的性质 1.5
题目 1.5.3
设 $$f_n(x)=x^n+x$$
求证
(1) 对任意自然数 $$n>1$$,方程 $$f_n(x) = 1$$在$$(\frac12,1)$$内有且仅有一个根
(2) 若$$c_n \in (\frac12,1)$$是$$f_n(x)=1$$的根,则$$lim_{n->infty}c_n$$存在，并求此极限
题解 ???
(1)
求导$$nx^{n-1}+1>0$$,严格单调
所以 $$ (f_n(\frac12)-1) \cdot (f_n(1)-1) < 0, x \in (\frac12,1)$$ 有根,得证
(2) ???
2.6 例22?
题目 1.5.4
设置$$f(x)$$在 $[a,b]$ 上无界,求证: $$\exists c \in [a,b]$$,使得 $$\forall \delta > 0$$ 函数 $$f(x)$$在 $$[c-\delta,c+\delta]\bigcap [a,b]$$上无界
题解 ???
题目 1.5.5
设 $${x_n}$$ 为有界序列。求证: $x_n$ 以 $a$为极限的充分必要条件是: ${x_n}$的任一收敛子序列都有相同的极限值$a$.
题解 ???
题目 1.5.7
设 $f(x) \in \mathbb{C}[a,b]$ 且有唯一的取到$f(x)$最大值的点$x^ * $ 又设 $x_n \in [a,b] (n=1,2,\dots)$
使得$$ lim_{n->\infty} f(x_n) = f(x^*), 求证 lim_{n->\infty} x_n = x^*$$
题解 ???
题目 1.5.8
设$$ f(x) \in \mathbb{C}[0,+\infty) $$又设对 $$\forall l \in \mathbb{R}$$ 方程 $$f(x) = l$$在 $$[0,+\infty)$$ 上只有有限个解或无解,求证:
(1) 如果 $f(x)$ 在 $$[0,+\infty)$$ 上有界,则极限 $$lim_{x->+\infty}f(x)$$存在;
(2) 如果 $f(x)$ 在 $$[0,+\infty)$$ 上无上界,则 $$lim_{x->+\infty}f(x) = + \infty$$
题解 ???
题目 1.5.10
设$f(x)$在$[a,b]$上定义,$x_0\in [a,b]$如果对 $\forall \epsilon > 0,\exists \delta > 0$ 当 $|x-x_0|<\delta$时, 有 $f(x) < f(x_0)+\epsilon$, 那么称$f(x)$在点$x_0$处上半连续,如果$f(x)$在$[a,b]$上的没一点都上半连续,则称$f(x)$为$[a,b]$上的一个上半连续函数.求证: $[a,b]$上的上半连续函数一定有上界.