高等代数 八 线性空间
视频 42-54
线性空间
上来就是我非常讨厌的表达式 $A(\alpha+\beta)=A(\alpha)+A(\beta)$
$A:V\to V’$
$\alpha,\beta \in V$
一个我更喜欢的是 $A(\alpha+{V}\beta)=A(\alpha)+{V’}A(\beta)$
- 即使这样，也不够完全，因为$V$和$V’$ 里都可以 按你需要定义 加法, 也就是对于$V$你可以定义多种加法
- 一个我更喜欢的是 $A(\alpha+{S_1}\beta)=A(\alpha)+{S_2}A(\beta)$ 这样强调两个加法的不同，是两个线性空间中具体的加法
- 或者 $A(\alpha+\beta)=A(\alpha)\oplus A(\beta)$ 也是强调两个加法的不同
- $A(k \cdot_{S_1}\alpha)=k\cdot_{S_2} A(\alpha), k\in F$
那么有加，数量乘法 映射，那么这是一个线性映射
8.1 域F上线性空间的基与维数
定义1. 非空集合V, 加法运算:$V\times V\to V$ 的一个映射， 域F, 乘法运算$F\times V\to V$的一个映射
- 加法结合
- 加法零元， 称作零元素
- 加法逆元
- 加法交换
- $(1_F) a = a$,
- $(k_Fl_F) a =k_F(l_F a)$,
- $(k_F+Fl_F) a =(k_Fa)+{V}(l_F a)$,
- $k_F(a+{V}b) =(k_Fa)+{V}(k_F b)$,
- 称作线性空间
例如：
- 几何空间中以原点为起点的所有向量组成的集合
- 域F上 所有n元有序组组成的集合$F^n$
- 矩阵 $M_{s n}(K)$
- 一元多项式 $K[x]$
- 复数域 a+bi = (a,b)
性质:
- 唯一零元 $0_1=0_1+0_2=0_2$
- 逆元唯一 $(-a)_1=(-a)_1+(a+(-a)_2)=((-a)_1+a)+(-a)_2=(-a)_2$
- $0_Fa=0_V$ , $0_V=(0_Fa)+_V(-(0_Fa))=(0_F+_F0_F)a+_V(-(0_Fa))=(0_Fa)+_V(0_Fa)+_V(-(0_Fa))=(0_Fa)+_V((0_Fa)+_V(-(0_Fa)))=(0_Fa)+_V0_V=0_Fa$
- $k_F0_V=0_V$, 类似的
- $k_Fa_V=0_V$ 则$k_F=0_F$或$a_V=0_V$, 证明核心在$k$属于域$F$，要么有零元 要么有逆元
- $(-1)_Fa_V=-(a_V)$, F域中单位元的逆元 乘 V中的元 能得到V中对应的逆元，也就是证明 前面表示 $+a_V =0$
线性组合 $\sum k_ia_i,k\in K,a\in V$
向量组 选中的$a_i$
线性表出: $b=\sum k_ia_i$
线性无关: $\sum k_ia_i=0 \to k_i=0$, 任意一个不能被其它的线性表出
命题1. 组线性相关：任意一个部分线性相关，则整体线性相关
命题2. 包含0线性相关
命题3, <=> 存在一个可以被其他线性表出
命题4，b 被W表出，(表法唯一 <=> W线性无关)
命题5, W线性无关， b可被W线性表出 <=> [...W,b]线性相关
定义3：一个极大线性无关组，线性无关 且 加入任何其它会导致线性相关
- 这里“极” 很准确，因为这时候还没有“最”的概念，认为是一种局部的极值
定义4：等价，向量组X,Y，X能表出Y所有，Y能表出X所有
- 任意两个极大线性无关组 等价
- 传递性
引理1. 如果X由Y线性表出，且X中向量个数r > Y中向量个数s，那么X线性相关
- 也就是求$c$使得 $\sum_i c_ix_i=0$ 把每个x_i展开成$Y$的线性表出
- 所以是求 r列,s行 的null space, 一定不是零空间，所以 一定有非零解，所以X线性相关
推论1. (r个向量线性无关向量组X)由(s个向量的向量组Y) 线性表出，那么 $r\le s$， 也证明了rank的上限
- 引理1的逆否命题
推论2， 等价的线性无关向量组所含向量个数相等
- 定义4+推论1 显然
推论3： 一个向量组（不要求线性无关）的任意两个极大线性无关所含向量的个数相等
- 等价 传递性 极大A <=> 本身 <=> 极大B
定义5, 向量组 => 极大线性无关组的个数 记作 rank
命题6, X中 线性无关 <=> rank = 向量个数
- => 本身是一个 极大线性无关组
- <= rank=个数 只能取所有，注意这里始终是取向量还没谈论空间
命题7： X由Y线性表出, $rank(X) \le rank(Y)$
- X的任意极大线性无关 能被 Y的任意极大线性无关 表出
- 根据推论1
命题8：等价向量组，rank相等
- 根据表出关系 A 极大 <=> A <=> b <=> B极大
基与维数
定义6： V是域F上线性空间，V中向量集S
- S线性无关
- V中每个可以由S线性表出
S是一个基
集合S + 偏序( $S\times S\to$ true/false/undefined 无环 )
- 偏序
- 自反 $A\le A$
- 无环
- 链：子集，且两两有偏序关系
- 极大元素: A, 集合中没有比A大的$A \le B \in S \to B=A$，可能一个可能多个可能没有
- 上界， 任意$x \in U \subset S, x \le B\in S$,那么B是U的一个上界
- Zorn引理： 一个偏序集，每条链 都有上界，那么S有极大元素
定理1. 任意线性空间V都有一个基
- V中任意多个 线性无关的向量构成集合，形成拓扑图上的每个点
- 偏序关系 定义是 集合的包含关系
- 每条链都有上界怎么证明？？？ 无穷维的呢？
- 不懂
定义7. 线性空间 根据其基的个数 ，称它是 有限维/无限维
定理2. 有限维线性空间，任意两个基的向量个数相等
- 引理1
推论4，无限维 任意一个基都还有无穷多向量
定义8. 有限维 个数称作维数记作 $dim V$, 无限维 dim V = infty
命题9. n维线性空间, 任意n+1各向量都线性相关
命题10. n维 线性空间，任意n个线性无关向量 都是 基
命题11. 可以表示V中任意向量的线性无关组是基
命题12. 任意一个线性无关向量组可以扩充为一个基
- 因为如果 个数少，必定有不可表出的可以加入，否则 个数少 和 基 相互表出 => 个数相等
四 基变换和坐标变换
$基A * 矩阵A = 基B$ ， 当且仅当 矩阵A可逆
可逆 => 基可以相互表出 => rank(A)=rank(B)
都是基 <=> 可以相互表出 => 表出过程就是求逆
结论：
- 基 * 可逆矩阵 得到另一个基
- 两个基之间可以通过可逆矩阵转换
8.2 子空间及其交与和，子空间的直和
保持域F不变(!!)，在域F上，线性子空间： 子空间 且 保持同样的加法和乘法
定理1：子集+加法乘法封闭 <=> 子空间
有限维度V的子空间U, dim U <= dim V
- 张成span 空间，W是 向量组的张成空间
- 取等号当且仅当 U = V
- dim(span(向量组)) = rank(向量组)
子空间交与和
交: $V_1,V_2$是$V$的子空间，那么牠们的交也是子空间, 核心是封闭性的证明，因为对于$V_1,V_2$来说 属于它们的向量，保持加法乘法不变，在其运算规则中 总是唯一的得到V中的结果，那么其实问题只有 能否保证这个结果在V中了
并：并不是子空间
而我们希望有一个类似于并的运算能保持 依然是V的子空间
和: $V_1+V_2$不是 空间的并，而是 $V_1,V_2$ 的基 的集合 的生成空间, 它也是包含$V_1\cup V_2$的最小子空间
命题1.
- $(V_1\cap V_2)+(V_1\cap V_3) \subseteq V_1\cap (V_2+V_3)$
- $V_1+(V_2\cap V_3)\subseteq (V_1+ V_2)\cap(V_1+ V_3)$
命题2. 和 是 基的并集关系
定理4. 子空间维数公式
$dim V_1+dim V_2 = dim(V_1+V_2)+dim(V_1\cap V_2)$ ,注意括号中的+是和
推论 1, $dim V_1 + dim V_2 = dim (V_1+V_2) <=> V_1\cap V_2 = 0$
子空间直和， 也就是针对两个交集只有0向量的子空间 （注意空间交集不是空）
定义1. 如果$V_1+V_2$唯一表示称 两个分别来自两个子空间的 向量和，那么成为直和, $V_1\oplus V_2$
定理5. 以下命题等价
- $V_1+V_2$是直和
- $V_1+V_2$中零向量表法唯一
- $V_1\cap V_2 = 0$
定理6. 如果是有限维子空间
- $V_1+V_2$是直和
- dim(V_1+V_2)=dim V_1+dim V_2
- (V_1的一个基) 与 ($V_2$的一个基) 合起来是$V_1+V_2$的一个基
定义 补空间：直和 = V
命题3. 设V是域F上n维线性空间，则V的每一个子空间U都有补空间
- 扩充的部分形成 补空间
定理7. 无限维度子空间
- $V_1+V_2$是直和
- (V_1的一个基) 与 ($V_2$的一个基) 合起来是$V_1+V_2$的一个基
命题4. 无限维子空间 有补空间
定义2. 多个子空间的连续直和： 任意两个子空间交为0
定理8. 多个子空间命题等价
- $V_1+V_2+\cdots+V_s$是直和
- 零向量表法唯一
- $V_i\cap (\sum_{j\neq i}V_j) = 0$
定理9. 有限维子空间，等价命题
- 直和
- $dim(和) = \sum dim$
- 分别的基合起来 是和的基
8.3 域F上线性空间的同构
同构映射, $V,V’$都是域F上的线性空间，存在双射$\sigma: V \to V’$, 且保持 加法和乘法的映射
$\sigma(a+{V}b)=\sigma(a)+{V’}\sigma(b)$
$\sigma(k\cdot_{V}a)=k\cdot_{V’}\sigma(a)$
性质1. $\sigma(0)$是$V’$的零元素
性质2. $\sigma(-a)=-\sigma(a)$ 加法逆元映射
性质3. $\sigma(\sum {k_i}a_i)=\sum {k_i} \sigma(a_i)$
性质4. 向量组$X$线性相关，当且仅当 $\sigma(X)$线性相关，证明:也就是线性和 只有0解
性质5. 基 => $\sigma$ 是基，证明：一来线性相关性（表出性（和 与 数量积））
定理1. 有限维 线性空间同构 <=> 维数相等
- => 上面结构 可证
- <= 钦定映射
命题1. V的子空间U => $\sigma(U)$ 也是$V’$的子空间，如果有限维，子空间维数相等
有限域的元素个数
$F$是有限域，设 特征为$p$, 单位元为$I$, 取 $F_p=$ { $0,I,2I,\cdots, (p-1)I$ }
$F_p$ 对于减法 乘法封闭（之前推的充要条件），是F的一个子环（这里的运算的映射$F$和$F_p$也是一致的哦）
$F$ 看成$F_p$域上的线性空间，加法是 域$F$的加法, 纯量乘法是 $F_p$中元素 与 $F$中元素的乘法，
- ??? 总可以看成吗，这里的感觉是F上有一些不可合并的元，那么每个不与其它合并的元的系数一定可以提取成$F_p$中的, 所以每个不能合成的 看作线性空间的一个维度
因为有限 $F$作为 域$F_p$ 上的线性空间一定有限维的, 若$n$维, $F$和$F_p^n$ 同构, 有双射，个数相等，$F$的 元素个数 $p^n$
$F_p^n =$ { $(a_1,a_2,\cdots,a_n)|a_i\in F_p$}
定理2 F是任一有限域，F的元素是一个素数p的幂次，其中p是域F的特征
- => 按照上述构造 $p^n$ 一定存在，任意两个$p^n$ 有限域 都是同构的, 或者记作 $GF(p^n)$ ，或者$F_{p^n}$ 称作 Galois fields
三 外直和
$U,W$是域F上 任意两个线性空间，笛卡儿积
$U\times W=${$(a,b)|a\in U,b\in W$}
可以规定 加法运算和 纯量乘法运算
一种 拼接 连接的感觉， 可以证明满足线性空间性质，称作外直和 记作\dot{+} $\dot{+}$
$dim(U\dot{+}W)=n+m=dim U + dim W$
是一种小的线性空间 构造大的线性空间的一种方法
- 考虑 (a,0) 和 (b,0) 是 (a,b)的子空间，所以 $U\dot{+}W$是 $U\dot{+}0_W$和$0_U\dot{+}W$的直和
- 其实 容易看出 U 和 (a,0)是同构
- W 和 (0,b)是同构
8.4 商空间
$V/\sim$, 也就是 按照$\sim$定义等价，把$V$划分成多个等价类
一个等价类 = 代表元 + (0的等价类)
陪集 $\bar{a}=a+W$
也可以记作 $V/W$ V对于子空间W的商集, 每个等价类 {$a+W | a \in V$}
加法 和 纯量乘法
(a+W)+(b+W) = (a+b)+W
k(a+W) = ka + W
0+W是零元
构成线性空间，是V对于W的商空间， 也是线性空间
其中 $V/W$的元素不是$V$的向量，而是一个等价类
dim V/W = dim V - dim W
- W中取基，扩充成V的基
- [w基，非w基]
- V/W的元素 a+W = (a在V中 按照扩充基展开的加法)+W
- = 新加法的拆分 sum ki (基i + W)
- 其中 (属于W的基 + W) = 0 + W
- = sum ki (非w基i + W) 证明了任意可以由 (非w基+W) 表示
- 只需要再证明 这些 线性无关
- 即 sum li (非w基i + W) = W 的li只有0解，（注意这里W就是零元）
- 即 (sum li 非w基i ) + W = W
- 那么有 (sum li w基i) 能表示 W中的任意，包括 (sum li 非w基i)
- 而 注意到 (sum li w基i) - (sum li 非w基i) = 0 只有零解，所以 证明了 上面只有零解，所以线性无关
- 综上，可表示任意，又线性无关，所以是基，rank = 个数 = dim V - dim W
- = 新加法的拆分 sum ki (基i + W)
- V/W的元素 a+W = (a在V中 按照扩充基展开的加法)+W
余维数
V是无限维，W是子空间 也是无限维度
定义1. W是域F上线性空间V的一个子空间，如果 V/W是有限维的, 那么称作W在V中的余维数，记作 记作$codim_V W$
标准映射
V 到 V/W 有一个很自然的映射
$a\to a + W$
称作标准映射，典范映射 canonical mapping, 显然 满射，W不是零子空间时，它不是单射
这种映射，有加法和纯量乘法对应，只是对应 因为不是单射，所以不是同构
- 但有一个用处，如果 $V/W$中 几个$a+W$是线性无关，反过来 对应的几个$a$是线性无关
命题1. 域F上线性空间V的任一子空间W都有补空间
- V/W 的一个基为 S’
- S’ 是按照标准映射的逆映射 到V中的S，S也是线性无关的
- 令U是由S生成的子空间
- 那么S是U的一个基
- 下面证明 U是W在V中的补空间
- 在 商集 中 任意 a+W 可被 S’ 表出，表出 的非W的部分记作b, a+W=b+W (在商集中相等，在V中不一定相等)
- $a-b \in W, b \in U$
- 存在 $c\in W, a-b=c$
- $a=b+c$, 也就是 a 可以被 U 与 W中的表示
- 分割线
- b \in W 交U,
- 属于W: b+W=W
- 属于U: b可以被 S表出
- W=b+W=(sum 系数 * 基)+W=sum 系数(基+W)，只有零解，所以交为空
- 所以是补空间 （U+W = V, U交W=0）
总结
核心:
- 基和维数： 线性空间V中每个元素，能用V中“有限多个向量” 唯一的表出
- 子空间，子空间直和
- 商集：把等价类看成一个元素
- 线性空间同构:线性空间之间关系的角度
- 然后研究 空间中 两个子空间 交，加，（正交时 的加=> 直和），维度性质，V减去一个子空间性质
- 这块核心的研究是基于
基向量与表出，围绕这两个，再保持加和乘的运算
- 这块核心的研究是基于