高等代数 六 二次型 矩阵的合同
二次型，矩阵的合同
把$f(x_1,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j$ 表示成对称矩阵A, 其中$a_{ij} = a_{ji}$
则称A是二次型矩阵, 显然它唯一，非对角的系数是
$f()=x^TAx$
若 $x=Cy$,且$C$可逆，那么陈果一个非退化线性替换，（简单说可以换回来一一对应
$f()=(Cy)^TA(Cy)=y^T(C^TAC)y$
定义2. $x^TAx$和$y^TBy$ 如果能通过$x=Cy$得到，其中$C$是可逆的，那么这两个二次型等价,
- => $A$和$B$合同
- 标准型 转化成$\Lambda$ 特征值对角阵 $=\sum_{i=1}^n \lambda_iy_i^2$
- 这里实际上就是 多元二次表达式的配方，因为 最初的变换 行变换对应消行，列变换对应新增变量（配变量），而这里是一种行列空间同步变化的过程
- 标准型 中 rank = 非零特征值个数
6.2 实二次型的规范型
注意到上面的$C$ 只需要可逆，也就意味着，如果在变换为$\Lambda$以后，再做单个位置的倍数变换也是“合法”的，所以标准型不唯一
rank 因为全是初等变换所以不变，所以非零个数不变
规范型：
- 全部变为|系数|=1的平方项
- 前面+1,中间-1,后面0
- 规范型
- 规范型唯一 也就是 +，-，0的个数固定
- 如果表示成
- $z_1^2+\cdots +z_q^2-z_{q+1}^2-\cdots-z_r^2$
- $y_1^2+\cdots +y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots-y_r^2$
- $z=Qy$
- 若 $p > q$
- 考虑 $Q_{q\times r}y=z_{q}$
- 让$y$的$y_{\ge p+1} = 0$,而前面不全为0
- 让 $z_{\le q} = 0$ 注意到 rank($Q_{q\times r}$)=q, 一定存在非零解
- 从而 z的表示不大于0, 而y的表示大于0, 因此矛盾, 所以表示法唯一
- 考虑 $Q_{q\times r}y=z_{q}$
- +号个数：正惯性指数
- 是二次型等价： 规范型相同
- rank相同 且 正惯性指数相同
- 对应的矩阵合同
- 是二次型等价： 规范型相同
- 如果表示成
6.3 正定二次型与正定矩阵
任意非零向量$x$有$x^TAx >0$
- 正惯性指数=n
- 用处 MIT18.06 有讲，求极小值 不会是局部最小值
- 与正定矩阵合同的实对称矩阵是正定矩阵
- 正定的行列式大于0
- 应为是在A两侧乘上可逆的C^T和C，它们行列式相同所以符号不变
- 所有顺序主子式全大于0
- 最常用的判别方式
- $x^TAx > 0$ 让 x后半取零同样 => 容易得顺序主子式 都是正定的 => 顺序主子式大于0， 必要
- 充分性：归纳法(n-1阶是正定的) + 分块矩阵
[A,a;a^T,v0]=>[I,b;b^T,v1]=>[I,0;0^T,v2]
- 半正定
- $\ge 0$