高等代数 四 矩阵的运算
矩阵的运算
P55-65
矩阵和 $C=A+B, C_{ij}=A_{ij}+B_{ij}$
矩阵乘 $C=AB, C_{ij}=\sum_{k} A_{ik}B_{kj}$
特殊矩阵
- 对角矩阵
- 基本矩阵: 只有一个元素是1,其它全是0
- 上/下 三角矩阵
- 初等矩阵：初等变换操作的“操作矩阵”
- 对称矩阵 $A^T = A$
- 反对称/斜对称矩阵 $A^T=-A$
矩阵乘积
用旋转的矩阵表达 来讲矩阵乘法 同时有了自然的 和差化积 积化和差
[cos,-sin;sin,cos]秩 rank(AB) <= min(rank(A),rank(B)), 从表出容易证明，小于存在的例子 [0,1;0,0]
行列式 |AB|=|A||B|
- 证明 分块矩阵技术
|[A,0;-I,B]|=|A||B|
- 证明 分块矩阵技术
Binet-Cauthy
- $|A_{mn}B_{nm}| = 0, m > n$
- $|A_{mn}B_{nm}| = \sum |A’{m}B’{m}|, m \le n$ 算法比赛用到过，右边是 $A,B$的所有$m$阶子式子相乘（其中 A选的列序号 和 B选的行序号相等）
- 依然是分块矩阵技术 $[A,0;-I,B]$ 需要注意和上面不同的是，这里A,B不是方阵
- cauchy恒等式, $n\ge 2$时 $\displaystyle (\sum_{i=1}^n a_ic_i)(\sum_{i=1}^n b_id_i)-(\sum_{i=1}^n a_id_i)(\sum_{i=1}^n b_ic_i)=\sum_{1\le j<k\le n} (a_jb_k-a_kb_j)(c_jd_k-c_kd_j)$
- Cauchy-Bunyakovsky 不等式 $\displaystyle (\sum_{i=1}^n {a_i^2})(\sum_{i=1}^n {b_i^2}) \ge (\sum_{i=1}^n {a_ib_i})^2$ , 等号成立当且仅当 a和b线性相关
$AA’=I,|A|=-1$ 证明$|I+A|=0$
$|I+A|=|AA’+AI|=|A(A’+I)|=|A||A’+I|=(-1)|(A+I)’|=(-1)|A+I|$ 得证
例6~例8 全部用的 矩阵的元素是$\sum$, 然后通过拆解成两个矩阵相乘来解
A和B都是n阶矩阵 AB和BA的r阶的所有主子式和相等：（n阶矩阵乘法的非交换性中提取的可交换的量）
例题 4.3.16 对于$A$,如果 存在$m$使得$rank(A^m)=rank(A^{m+1})$那么$rank(A^m)=rank(A^{m+k})$
- y属于$A^{m+1}$列空间存在$x$,使得$y=A^{m+1}x=A(A^{m}x)$, 注意到右侧是$A^m$的列空间中的向量，而$A^{m+1}$的列空间是$A^m$的列空间的子空间，却维度相等，所以两个列空间相等，所以$A^mx$ 也可以用$A^{m+1}z$ 表示, 所以$y=A(A^{m+1}z)$, 说明 任何$A^m$的列空间向量都可以在$A^{m+2}$中表出，而$A^{m+2}$的列空间又是它的子空间，所以两个列空间相等，得证
- 再配上容斥原理 可得 4.4.例12 对于n阶矩阵 $rank(A^n)=rank(A^{n+k})$
4.4 例13 A=LU
可逆矩阵
- $A^{-1}A=I$
- 伴随矩阵 $A^{*}A=|A|I$
- $|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}A^{*}$
- 高斯消元法 初等变化 + 增广矩阵 求 逆矩阵
4.5 矩阵的分块
- 分块情况下的运算，这感觉很偏应用吧，能加快运算
- 另一个用处就是这里很多 秩相关的，行列式相关的，可以用分块来证明
Sylvester秩不等式 $A_{sn},B_{nm}$: 有$rank(AB)\ge rank(A)+rank(B)-n$
- $(I_n,0;0,AB)=(B,I_n;0,A)$
幂等矩阵 充要: $rank(A)+rank(I-A)=n$
- $A^2=A$ 即$A-A^2=0$ 即 $(A,0;0,I-A)=(A-A^2,0;0,I)$
4.6 正交矩阵 欧几里得空间$R^n$
这个 视频上没有？我看视频课，矩阵运算p65结束，p66就开始多项式了，而多项式是高代的第七章
实数域上 正交$AA^T=I$
- $A^{-1}=A^T$ 也是正交
- 可逆
- $A,B$是正交则$AB$也是正交
- $\det A= 1,-1$
- $|A|^2=|A^TA|=|I|$
4.7 $K^n$到$K^s$的线性映射
这部分在视频课里是第三章中间p45-p54