高等代数 三 n维向量空间$K^n$

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n维向量空间$K^n$

P19-P55

定义

$K^n:=\lbrace (a_1,a_2,\cdots,a_n) | a_i\in K,i=1,2,\cdots,n \rbrace$

其中$K$是数域

规定:

  1. 向量相等:对应位置元素相等
  2. 向量相加:对应位置元素相加
  3. 数量乘法:所有元素乘上k倍
  4. 零向量:所有元素都为0

对应映射$f: A\to B$ , $a$ 在$f$下的像$f(a)$, $a$是$f(a)$的一个原像

满射:$f(A) = B$

单射:不同$a$的$f(a)$不同

双射(一一对应): 单射+满射

笛卡尔积: $A\times B = ((a_1,b_1),(a_2,b_2),\cdots,(a_n,b_n))$, $A$,$B$等长

线性空间

线性空间 = 4条加法法则+4条数乘法则

加法

  1. 加法交换 $\alpha + \beta = \beta + \alpha$
  2. 加法结合 $(\alpha + \beta ) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma)$
  3. 零元$\alpha + 0 = \alpha$
  4. 负元$\alpha + \beta = 0$, 互为负元

数乘

  1. $1\alpha = \alpha$
  2. $(kl)\alpha = k(l\alpha)$
  3. $(k+l)\alpha = k\alpha + l\alpha$
  4. $k(\alpha+\beta) = k\alpha + k\beta$

线性空间例子

  1. 几何空间, 以O为起点的所有向量
  2. 向量空间 是 数域$K$的一个线性空间
  3. $f(\mathbb{R})\to \mathbb{R}$, 数域$X$上的函数$\mathbb{R}^X$, $(f+g)(\mathbb{R}) = f(\mathbb{R})+g(\mathbb{R})$, (3对应零函数,4对应负函数)

线性空间性质

  1. 唯一$0$元(反证法+交换律+加法性质3) 0a = 0a+0b = 0b + 0a= 0b
  2. 每个元素唯一负元(反证法) $\beta_0 = \beta_0 + \alpha +\beta_1 = \beta_1$
  3. $0\alpha = 0$ (数乘+结合率+负元) $0\alpha = 0\alpha + 0 = 0\alpha + (0\alpha + (-0\alpha)) = (0\alpha + 0\alpha) + (-0\alpha) = 0\alpha + (-0\alpha) = 0$
  4. $k0 = 0$
  5. $k\alpha = 0$, 则$k =0$或$\alpha = 0$, ($k\ne 0$时,数乘上$k^{-1}$)
  6. $(-1)\alpha = -\alpha$, (结合律+负元定义)

线性子空间

$V$是数域$K$上的一个线性空间,$U$是$V$一个非空子集, 也满足线性空间八条法则,则$U$是$V$的子空间, (注意元素的定义要一致

生成的子空间 $W = <\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s>$ , W的元素都是$\sum k_i \alpha_i$ 得到的, 其中$k_i \in K$, 对于可以被表示的, 称作可以被这些向量线性表出

所以原本的n元线性方程组的问题有解变成: 系数的列向量能否线性表出值的列向量? $\beta \in <\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s>$?

线性相关与线性无关的向量组

定义

2个向量: 共线(线性相关): $\exists k_1,k_2$不全为零,让$k_1\alpha + k_2\beta = 0$, 否则不共线(线性无关)

线性相关: $\exists k_1,k_2,\cdots,k_s$不全为零,让$\sum_{i=1}^s k_i\alpha_i = 0$, 否则线性无关

线性相关 $\Leftrightarrow$ 相应n元齐次线性方程组有非零解 $\Leftrightarrow$ 行列式$=0$

线性无关 $\Leftrightarrow$ 相应n元齐次线性方程组只有零解 $\Leftrightarrow$ 行列式$\ne 0$

对于单个向量, 定义$0$向量是线性相关, 非零则线性无关

性质

线性相关 本身不含0向量的话, 至少有一个向量可以由其它向量线性表出

线性无关: 每一个都不能由其它向量线性表出

命题一: $\beta$可以由线性无关的向量组 $<\alpha_1,\cdots,\alpha_s>$线性表出, 则表出方式唯一(充要)

命题二: 线性无关,添加向量后线性相关, 则添加的向量可被线性表出

极大线性无关组: 当前无关任意添加都会线性相关, 换句话说任意都可以被线性表出

基: 线性无关,任何向量可以由它线性表出,和极大线性无关组的关系 (见下面注记)

如果两个向量组可以互相线性表出,则称它们等价, 可以相互线性表出的两个向量组 定义为 “等价”关系, “等价”关系有 自反性, 对称性, 传递性(拆开证)

向量组(r个)能由向量组(s个)线性表出(r>s), 则前面一定线性相关, 相当于带入去解r未知数,s个等式的方程组 一定有非零解

m的大小唯一: 因为如果两个个数不同(m>n)的极大线性无关组,因为可以互相表出, 反过来就是考虑一个m元齐次n个的方程组 是否有非零解? 因为m>n则必有非零解,所以大的个数的不可能是极大线性无关组, 所以所有极大线性无关组的个数两两相等

$<\alpha_1,\cdots,\alpha_s>$ 的任意一个极大线性无关组的个数唯一决定,称作向量组的秩(rank, r只含0的规定为0)

等价 的两个向量组 rank相等: 因为分别取它们的极大线性无关组+线性表出传递性

等价 线性无关的两个向量组 rank相等

空间(集合)与向量组的关系

有限子集线性相关 定义为 其向量组 线性相关

无限子集线性相关 定义为 有一个有限子集 线性相关

空集定义是 线性无关

存在性: 一定存在(教材)

V有一个基是有限子集,则V是有限维的, 基的个数叫做维数 $dimV$, 只含$0$的线性空间维数为0

V有一个基是无限子集,则V是无限维的

坐标: 列向量 在基中的唯一表出的系数

例子: 三维空间中三个不共面的向量是一个基, 平面是二维的(过定点O的平面), 直线是1维的 (过定点O的直线)

$K^n$ 的标准基$(1,0,\cdots)^T,(0,1,\cdots)^T,\cdots,(0,0,\cdots,1)^T$

$K^n$的$n$个线性无关的向量组都是它的基,(因为任加一个,从个数上一定线性相关,则任加的可以被线性表出)

$dim(V)=n$ 则空间$V$中任意$n$个线性无关的一定是基(任意增加,n+1个显然线性相关)

A线性表出B: $rank(B) \le rank(A)$

矩阵=> 列向量组 => 列秩 = dim(列空间)

矩阵=> 行向量组 => 行秩 = dim(行空间) => 转化阶梯矩阵

线性无关的向量组做延伸组依然线性无关, 先考虑阶梯形矩阵(取主元所在列 得到 线性无关) rank(列向量) = 主元个数 = rank(行向量)

定理2 初等行变换不改变矩阵行rank

  1. 交换显然
  2. 行倍加到另一行, 变后的可以用原来的行线性表出, 原的也可以用现在的线性表出, 所以两个等价, rank 相等
  3. 某行乘倍数, 同样 也是变前后相互可以表出, 所以等价,所以rank相等

定理3 矩阵的初等行变换不改变列rank

考虑 方程组 随着初等行变换, 和原方程组同解, 因此 变化前后 的有非零解和无非零解 和 变化后一致 所以 不改变列rank(既然rank与极大线性无关组有关,而极大线性无关组与运算得到0元有关, 同解保证了 原来能得到表达式, 在新的里才能得到0元, (因为非0元不能通过初等行变化变为0元))

综上 对于一般矩阵 初等行变换 行列rank 不变 成为阶梯形矩阵, 行rank = 列 rank

定理4 因此也有矩阵的rank = 矩阵的转置的rank

定理5 A的rank = A的不为0的子式的最高阶数(找线性无关rank行得到子矩阵,再找线性无关rank列 构成的rank x rank 的线性无关, 那么变化阶梯形 行列式不变 最终不为0,说明存在,不为0的rank乘rank的A的子式)

矩阵的初等行/列变换 不改变矩阵的秩

空间 的 交并 与 空间基的集合的交并 并不等价

子空间

直和 : V的子空间$V_1,V_2$ 如果$V_1+V_2$中的每个向量$\alpha=\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1\in V_1,\alpha_2\in V_2$ 表法唯一，那么称作直和, 充要条件$V_1 交 V_2 = 0向量$

  • 0的表法也唯一, 说明 两个空间之间无线性相关的向量
  • 所以 两个的基的 代数和为0的解 只有零解, 所以所有基线性无关，所以 dim(V1+V2)=dim(V1)+dim(V2)-dim(V1 交 V2)

线性映射

对应书的4.7

穿插了一点 集合知识

  • 定义域
  • 陪域 (值域包含于陪域，值域中的元素是 定义域元素经过变化得到所有值的集合，陪域并不保证元素都有定义域的来源)
  • 值域 $\mathrm{Im} f$
  • 满射：值域=陪域
  • 单射 不同元素的象不同
  • 双射 （一一对应
    • 可逆映射
  • 核 Ker sigma: $\alpha \in K^n | \sigma(\alpha)=0$
  • 同构映射$\sigma: V\to V’$ 那么$V$与$V’$同构, 这里也感觉不够精确，括号里的运算是$V$中的,而外部的运算是$V’$中的，应该区分这个加和乘?
    • $\sigma(x+y)=\sigma(x)+\sigma(y)$ 保持加法
    • $\sigma(kx)=k\sigma(x)$ 保持乘法
    • 性质 $V$的基 通过$\sigma$ 映射到$V’$也是基
    • 两个有限维的线性空间同构，则 dim相等，也就是极大线性无关组个数相同，也就是唯一表出相同

映射结合律

  • fgh(x)=f(gh(x))=fg(h(x))

TODO 三十一 ~ 三十六

注记

向量组里是秩rank, 空间集合集合里是维数dim, $dim<\alpha_1,\cdots,\alpha_s> = rank\lbrace \alpha_1,\cdots,\alpha_s \rbrace$, 都是研究极大线性无关组(内线性无关,未被选的若加入都可表示(线性相关)), 注意的是并不是按照V的个数, 比如 (x,x,y) 看起来3维, 但基(对于空间无序)只有2个,所以是2维

向量组是有序有限的, 而空间是由基础的一系列向量做加法和数乘构成的集合

这里的特殊条件就是 只含$0$向量的时候有些需要特殊定义(规定),

例如 $\emptyset$是只含0向量的一个极大线性无关集, 规定为它是{0}的基

这里过程也是很多从2个到多个, 从特殊的阶梯形到一般矩阵

TLDR

先4条加法，4条乘法 定义线性空间

  • 然后 矩阵的列向量 运算 与 n维度空间基 做一一对应，把研究 列向量组合 变为研究n维空间的基，把求解与属于空间 唯一表示做关联

线性相关

  • 线性组合/可表示 <-> 属于生成空间

秩

  • 极大线性无关组
    • 向量组 =等价= 极大无关线性组
    • 个数称为秩
  • 表出的性质
  • 向量空间，子空间的基与维数
  • 向量组的rank = 生成空间的最大线性无关组
    • 初等变换
      • 可表示原理 不改变行rank
      • 同解原理 不改变列rank
      • 所以初等变化成阶梯形 行rank 列rank未改变，又都是主元个数
    • 满秩 <=> det \neq 0
    • 有解 解空间和解，这里 丘老师 是通过秩 与 增广矩阵秩 来研究解的存在性 个数，而mit18.06 是通过 先nullspace,再所有解= 特解+nullspace来完成的
  • 视频比 书多了很多章的 子空间相关的