高等代数 二 行列式
第2章 行列式
视频 p8~p18
- 希望不做消元探索矩阵性质
- 考虑2阶矩阵有唯一解充要, 定义行列式代数表达式和符号记法
- 从2阶拓展到n阶的表达式定义和符号技法(n元排列知识,交换操作与逆序对性质)
- 相关性质研究(转置,交换,倍数一行, 倍数一行加到另一行上)
为什么要行列式
在没有行列式时, 只有对方程组的系数矩阵消元以后,才知道解的情况, 期望不需要处理矩阵,就能知道相关性质
n 元排列
$n$的排列有$n!$个
性质1: 交换相邻元素得到新排列, 会改变逆序对个数 奇偶性
性质2: 交换i和j得到新排列,会改变逆序对个数奇偶性,(相当于多次相邻交换)
性质3: 保持下标和值的对应关系,让值有序而下标不一定有序,那么下标的逆序对个数的奇偶性和变化前的逆序对奇偶性一致S
显然一个数列逆序对个数 的奇偶性只与它内容有关,与交换的具体过程无关
二阶行列式
考虑$2\cdot 2$矩阵的解的个数
$a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12} \ne 0$ 唯一解
$a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12} = 0$ 无穷多
定义符号$\left |\begin{array}{hls} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right| = a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}$
二阶行列式$|A| \ne 0 \Leftrightarrow$ 有唯一解
n 阶行列式
从二阶出发进行思考, 类似的定义n阶, 符号类似用系数表示
对于值的定义:
- 求和的每一项是, 不同行,不同列的元素的乘积
- 行下标按照顺序, 列下标为全排列
- 符号为$-1$的
列下标逆序对个数的幂次
即是 $\sum_{j_1j_2\cdots j_n} (-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}\prod_{i=1}^n{a_{ij_i}}$ 这才是行列式的定义, 写成 $n\cdot n$的形状只是为了方便书写
$n$阶行列式 称作$n$阶矩阵的行列式
上三角形行列式: 主对角线下方全为$0$ 其值$=\prod_{i=1}^n a_{ii}$
这里有个后面(克莱姆法则)会解决的问题, 虽然二阶说明了与有唯一解的充要关系, 而这里虽然定义了n阶行列式, 却没有说明和原矩阵之间唯一解的充要关系
行列式性质
行列式交换两行, 等于所有被加的元素中的列下标中的两个交换, 因此行列式的两行交换=值$\cdot -1$
可以得到$\sum_{i_1i_2\cdots i_n} (-1)^{\tau(i_1i_2\cdots i_n)}\prod_{j=1}^na_{i_jj}$
转置:行列互换, 常见的3种写法$A’,A^T,A^t$, 显然行列式值相等$|A|=|A^T|$
一行的$k$倍: 考虑代数表达式所有被加的元素都乘了k, 所以显然值也是k倍
一行加另一行上: 考虑代数表达式可以把所有加的括号拆开, 变成两个符号记法之和
$\left |\begin{array}{equation}\cdots & \cdots & \cdots \\ (b_1+c_1) & \cdots & (b_n+c_n) \\ \cdots & \cdots & \cdots \end{array}\right| = \left |\begin{array}{equation}\cdots & \cdots & \cdots \\ b_1 & \cdots & b_n \\ \cdots & \cdots & \cdots \end{array}\right| + \left |\begin{array}{equation}\cdots & \cdots & \cdots \\ c_1 & \cdots & c_n \\ \cdots & \cdots & \cdots \end{array}\right|$
两行成倍数, 考虑分别为$i_0,i_1$ 两行, 那么它的表达式中加法的项 不含符号部分一定有 $\cdots a_{i_0j_{i_0}} a_{i_1j_{i_1}}$ 和 $\cdots a_{i_1j_{i_0}} a_{i_0j_{i_1}}$ , 它们其它项一样,而仅有下标交换, 又有行成倍数, 因此它们绝对值相等而符号相反, 所以行列式的值为$0$, (另一个角度是, 它们可以互换互为相反数则只能是0
一行倍数加到另一行, 根据上面加法和倍数性质, 显然值不变
按一行(列)展开
$= a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}+a_{13}M_{13} + \cdots$
去掉行列剩下按照顺序拼接出的叫做余子式$M_{ij}$,带上-1幂次的叫做代数余子式$A_{ij}= (-1)^{i+j}M_{ij}$
$= a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}M_{13} + \cdots$
证明相等: 显然考虑表达式本来有$-1$的逆序对的幂次, 而移除了$a_{ij}$剩下按原来排列, 那么其内部和之间的逆序对未变化, 都是关于$a_{ij}$相关的, 那么分别是$a_{<i,>j}$和$a_{>i,<j}$ 的个数之和, 设$k = a_{<i,>j}$, 那么有$a_{<i,<j} = i-1-k$, $a_{>i,<j} = j-1-(i-1-k) = j-i+k$个, 所以一共$j-i+2k$个, 只考虑奇偶性的话$i+j$的奇偶性,也就有上面的等式, (另一个角度,考虑使用相邻交换把i行和j列分别交换到1行,1列,这样交换了(i-1+j-1)次, 再只需要考虑$a_{11}$的情况即可
- 反过来$i_0\ne i_1$ 时,考虑从代数表达式变成符号记法,带回去会让两行相等, $\sum_{j=1}^n a_{i_0j}A_{i_1j} =0$
克莱姆法则
n元线性方程组有唯一解的条件
增广矩阵$\to$初等行变换阶梯形, 无解有非零行$(0,\cdots,0,d \ne 0)$, 无穷解非零行数$r < n$,唯一解$r = n$
系数矩阵$\to$初等行变换阶梯形
也就对应系数矩阵$\to$初等行变换阶梯形 上三角 有唯一解 (初等变换过程中行列式值不变), 行列式$\ne 0$
同样上面的无解和无穷解都对应行列式$= 0$
至此得到了行列式的值与n元线性方程组有唯一解之间的关系
推论1: 对于没有常数项的n元齐次n个方程组, 只有0解 $\Leftrightarrow |A|\ne 0$, 有非零解 $|A| = 0$
取$A$中$k$行$k$列的交叉点按原顺序排,称作$k$阶子式, 对应剩下的是余子式, 根据上面提出$a_{ij}$ 类似的思路,可以考虑先把选定的$k$行$k$列通过相邻交换,换到开头的$k$行$k$列,这样操作次数是, $(i_1-1)+(i_2-2)+\cdots +(i_k-k) + (j_1-1)+(j_2-2)+\cdots +(j_k-k)$, 剩下的就是选定的$k$阶子式子和它的余子式相乘,其余子式乘上$(-1)^(i_1-1)+(i_2-2)+\cdots +(i_k-k) + (j_1-1)+(j_2-2)+\cdots +(j_k-k) = (-1)^{\sum_{p=1}^k (i_p+j_p)}$则称作代数余子式
laplace定理(指定k行的展开)
$|A|=$ 任意的指定$k$行后, 所有$k$阶子式和它的代数余子式的乘积之和
上面证明了每一项会怎么变化, 下面证明原行列式的每一项存在且唯一存在于一个乘积之中
其实和一行展开类似, 任何一项对于指定的$k$行来说其列是确定的,则唯一确定了所在的$k$阶子式,证明了每一个都唯一存在于一个
任意两个不同的k阶子式和它的代数余子式的乘积,都是行列式的项,且不会产生相同的加和项
得证
应用
$\left|\begin{array}{d2} A & O \\ C & B \end{array}\right| = |A||B|$
行列式在其它地方的应用
二阶行列式$\left|\begin{array}{d2} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{array}\right|$ 表示向量$(a_1,a_2)$和$(b_1,b_2)$所构成平行四边形,从$a$到$b$定向面积
三阶行列式, 表示向量$(a_1,a_2,a_3)$,$(b_1,b_2,b_3)$,$(c_1,c_2,c_3)$所构成的平行六面体的定向体积,$a\to b$,c大拇指右手系
例子
范德蒙行列式 $=\prod_{i<j} (a_j-a_i)$
找 f(x,y,z)=x3+y3+z3-3xyz 的一次因式?
1 | x y z |
这里有三对角行列式的一般情况的 公式推导
1 | a b |
`
思路总结
有不少是先看看二阶三阶怎么设计,再推广
但看了18.06我认为这么早上行列式并不好啊，感觉第二第三章顺序可以交换
- 排列
- 逆序数 = 交换次数奇偶性
- 归纳法易证，对于n-1成立，那么对于n个数，考虑n 相邻交换一直到最后 的 操作次数 = 额外逆序数
- 逆序数 = 交换次数奇偶性
- 定义：
- 这上这个公式，虽然 从2阶，3阶 有端倪，但的确不如18.06的三个基础性质得到公式
- 性质：
- 能代数化前置的一个优点是 证明“更暴力，更不直观，更容易”
- 图2-1
- 按一列/一行展开
- 代数余子式： 也就是 展开时看作 aij的系数的部分，
- 规律化的推导
- 特殊Vandermonde 范德蒙行列式
- 用处:
- f(x)是n-1次多项式,那么 拟合n个不同的输入 和 n个输出，只有唯一解
- 找规律与 f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3的线性代数
- 对于 圆的公式相关 也可以转换成线性方程组
- 因为 输入对应了一个范德蒙矩阵det非零，而 f(x)的系数是要求的 向量，输出 是目标向量
- f(x)是n-1次多项式,那么 拟合n个不同的输入 和 n个输出，只有唯一解
- 用处:
- Cramer法则
- 解的公式表达形式（虽然实际对于大矩阵，还是高斯消元靠谱）
- 这里Carmer法则又是先给公式再证明，没有推导，从天而来
- 18.06是，展开=>代数余子式的逆矩阵=> 解=逆 * 目标 => 逆展开
- Laplace定理
- 这个18.06倒是没有，相当于行列式计算的分块切割的性质，而分块的每块还可以不连续
- 应用小天地
- 这里也是fib递推 和 解微分方程，但这里连 特征值都还没讲