高等代数 十 具有度量的线性空间
视频 p145 - 151 （最后有一个整个学期回顾）
多重线性代数
11.1 多重线性映射
一个对称双线性函数，一个基下度量矩阵为A
$f(a,b)=x^TAy$
$q(a)=f(a,a)=x^TAx$
$q$上是V上的一个 二次函数
=> n元多项式
定义1. F是一个域，$x_1,\cdots,x_n$是n个符号，形如下述的表达式
$\sum a_{l_1l_2\cdots l_n}x_1^{l_1}x_2^{l_2}\cdots x_n^{l_i}$, 其中 幂次都是自然数，a是F中元素称为系数
- 有限多系数不为零
- 相等定义： 系数对应相等
- 则称 表达式是 域F上的一个n元多项式
- $x_1,\cdots,x_n$是n个无关不定元
定义加法，乘法
- 可验证，有 单位元 的交换环
- n元 多项式环
定义2，若每个系数不为的单项式次数都=m,则称它为m次齐次多项式
- 所有m次齐次多项式的集合，是域F上的一个线性空间
定理1. （n元多项式环的通用性质）设F是一个域，R是一个有单位元的交换环，且域F到R的一个子环R_1（含有R的单位元）有一个同构映射
- $\sigma$ a到$\tau(a)$, xi -> ti
- 保持加法 乘法运算
这里只关心 n元，二次齐次多项式
- 加上 aij=aji的限制， 即对称矩阵
- 称为n元二次型
- 对于给定表达式，二次型矩阵是唯一的
$f(x) = x^TAx$, 注意输入的x是n维向量
$f(Cx)=(Cx)^TA(Cx)$, 于是$x^T(C^TAC)x$, 中间的和A合同
- 如果C可逆，那么意味着 选取不同的x的组合，希望让对称矩阵合同（一定是对称矩阵），形式尽量简单，引出正定性
- 这里x用Cx带入，是一种非退化的线性替换（也就是C要可逆）
- 如果C是正交矩阵，那么叫正交替换
定义3 域F上 两个n元二次型，存在一个非退化（降秩）线性替换，使得$x^TAx$变为$x^TBx$. 那么称这两个二次型等价（不相等但等价）
- 也就是A和B合同时
- 自反，传递性，是一个等价关系，存在等价类
- 希望找等价类中最简形式
- 7.2节， 合同于一个对角矩阵
- 特征不为2的域F上的n元二次型 一定等价于 $\sum d_ix_i^2$ 只有平方项
- $x^TDx$, D是对角矩阵
- 最简形称作标准型
- 系数不为0的平方项的个数
- rank(A)=系数不为0的平方项的个数
定理2,实数域上的n元二次型 $x^TAx$有一个标准型
实对称矩阵 => 存在正交矩阵$Q$, $Q^{-1}AQ=\Lambda$, 其中$Q^T=Q^{-1}$
所以，是对称矩阵 合同于 $\Lambda$
对于每个 x_i可以再变化$\frac{1}{\sqrt{d_i}}x^i$ 可以让系数只有1,-1,0
只有 1,-1,0系数的称作 规范型
更精细的结论：正系数个数 和 负系数个数是固定的
- 规范型是唯一的：惯性定理
- 证明 前面章节好像证明过，两个规范型 通过过渡矩阵，去想办法一个正一个负，
- 规范型中：
- 正的个数 叫做正惯性指数
- 负的个数 叫做负惯性指数
- 正惯性指数-负惯性指数 称作符号差
命题1. n元实二次型 $x^TAx$的任一【标准型】中
- 同样 对应 称作 正负惯性指数
定理2. 等价的$x^TAx$和$x^TBx$的
- <=> 规范型相同
- <=> 正负惯性指数 相同，或者 rank相同+正惯性指数相同
定理3. 两个n级实对称矩阵 A与B 合同
- 合同规范型 =
diag {1*,-1 *,0 *}
这表明，秩，正惯性指数，是 【n级实对称矩阵】在合同关系下的一个组 完全不变量
正定二次型：
定义1. n元二次型 $x^TAx$如果 任意$x\neq 0$,$x^TAx >0$
- 正定的 <=> 规范型 rank = 正惯性指数 = n
- 合同于 I
- A的特征值全大于0
- 因为 正交相似/正交合同 于$\Lambda$
类似的
- 定义矩阵的正定矩阵
- 实二次型是正定的
- 所有 顺势 主 子式 的 行列式 为正
半正定：非负
负定：所有负
半负定：非正
多元函数极值
11.2 线性空间的张量积
2,3,4都没有视频课