高等代数 一 线性方程组的解法

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第1章 线性方程组的解法

视频 p3~p7

什么是线性代数

  1. 数
  2. 代数
  3. 方程
  4. 方程组
  5. 系数矩阵

如何解方程组

在数域中(有理数集,实数集,复数集)系数矩阵, 一行的倍数加减到另一行, 消元成阶梯矩阵(初等变化)

未知量的系数列向量均不为0, 否则意味着该变量不存在

解的组数

转换成阶梯矩阵后

  1. 无解: 转换时出现 $0 = d(\ne 0)$ (左侧系数矩阵0,右侧非零)
  2. 有且只有一个解: 非零行的数目r = 未知数的数目n
  3. 有无穷多解: 非零行的数目r < 未知数的数目n

数域

定义: 复数集的一个非空子集$K$如果满足

  1. $0,1\in K$
  2. $a,b\in K \to a \pm b , ab\in K$
  3. $a,b \in K, b\ne 0 \to \frac{a}{b} \in K$

$K$ 是一个数域

常见: 有理数域(最小的数域),实数域,复数域(最大的数域)

TLDR

  • 矩阵: 解线性方程组提出的 m行n列的 系数
    • 增广矩阵，包含解的部分
    • 方阵: n=m
    • 解法: rref(可以用matlabn), 阶梯型 高斯消元法
      • 性质：同解
      • 初等行变换
        • 交换两行位置
        • 一行加到另一行上
        • 一行乘上一个非零数
      • rref 特点
        • 是阶梯型
        • 主元全1
        • 左下全0
  • 解的情况
    • 无解
    • 一个解
    • 多个解
      • 这里的r用的是rref非零行的数目 与 列作比较
  • 数域
    • 这个感觉 拆分得不够细粒度啊
    • 感觉按后面对域的讲解 应该分成元素 和 运算符