求手算出x^3+101=y^2的正整数解

發表於 2024-08-14 更新於 2024-10-23 分類於数论 Disqus：文章字數： 1.4k 所需閱讀時間 ≈ 1 分鐘

来自2009年初中数学竞赛的一道题

题目

$x^3+101=y^2$ 求手算一组正整数解

这道题目来自2009年初中数学竞赛的一道题

在场上有尝试做一些mod,但没有很多，然后以为不会太大，就开始了暴力计算，当然当场是没有做出这个题目

当时赛后问了汀舅，汀舅给的方案是

做了更多的mod,进一步缩小枚举范围，但没有特别如意

最近在整理一些东西，突然又看到了这个，自己尝试了一下

通过 $x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)=(y-10)(y+10)$ 的变形，让我对于2相关的幂次很感兴趣

比较容易的得到了 $x\equiv 3\pmod{16}, y\equiv 0 \pmod{4}$ 或 $x\equiv -1\pmod{16}, y\equiv 2 \pmod{4}$

这对于知道答案的来说，的确已经可以暴力手动计算了，但对于不知道答案的来说，其实不知道自己会需要枚举多少个

$x^3+101=y^2\pmod 9$

容易得到 $x\equiv 2 \pmod{3}$, 计算量也不大，因为$x$侧只用关心 $\mod 3$, $y$侧考虑$0\to8$

然后考察

$x^3+101=y^2\pmod 8$

可以得到 $x\equiv 3\pmod{8}, y\equiv 0 \pmod{4}$ 或 $x\equiv -1\pmod{8}, y\equiv 2 \pmod{4}$

两者结合可以得到

$x\equiv -1 \pmod{24}, y \equiv 2 \pmod{4}$

$x\equiv 11 \pmod{24}, y \equiv 0 \pmod{4}$

$x=24a-1,y=4b+2$ 通过测试$\pmod{16}$可以得到$a$是偶数,$x=48c-1$, 再尝试$\pmod{32}$可以得到$x=96d-1$

$x=24a+11,y=4b$ 通过测试$\pmod{16}$可以得到$a$是奇数$x=48c+35$ ??TODO