问题

问题1

$x=1$

$x^2=?$

$x^m=?, m \ge 1, m \in \mathbb{Z}$

问题2

$x+y=1$

$x^2+y^2=2$

$x^3+y^3=?$

$x^m+y^m=?, m \ge 2, m \in \mathbb{Z}$

问题3

$x+y+z=1$

$x^2+y^2+z^2=2$

$x^3+y^3+z^3=3$

$x^4+y^4+z^4=?$

$x^m+y^m+z^m=?, m \ge 3, m \in \mathbb{Z}$

问题n

$\sum_{i=0}^n x_i=1$

$\sum_{i=0}^n x_i^2=2$

$\cdots$

$\sum_{i=0}^n x_i^n=n$

$\sum_{i=0}^n x_i^{n+1}=?$

$\sum_{i=0}^n x_i^{m}=?, m \ge n, m \in \mathbb{Z}$

TLDR

例如3阶 已知

$S_i=x^i+y^i+z^i$

$c_0=n$

$\displaystyle c_k=-\frac{\sum_{i=1}^k S_i c_{k-i}}{k}, k\le n$

例如 3阶 $X=[-\frac{c_1}{c_0},-\frac{c_2}{c_0},-\frac{c_3}{c_0};1,0,0;0,1,0]$

1

[V,D]=eig(X) % D是对角特征值矩阵，V是特征向量对应位置组成的矩阵

$x^k+y^k+z^k = S_k = [1;0;0] * V * D^{k-3} * V^{-1} * [3;2;1]$

题目

$x^3+101=y^2$ 求手算一组正整数解

这道题目来自2009年初中数学竞赛的一道题

https://zhidao.baidu.com/question/123254978.html

https://zhidao.baidu.com/question/114242326.html

https://www.zhihu.com/question/664003966

https://math.stackexchange.com/questions/4957099

一些不算成功的尝试

在场上 有尝试做一些mod,但没有很多，然后以为不会太大，就开始了暴力计算，当然当场是没有做出这个题目

当时赛后 问了汀舅，汀舅给的方案是

做了更多的mod,进一步缩小枚举范围，但没有特别如意

最近在整理一些东西，突然又看到了这个，自己尝试了一下

通过 $x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)=(y-10)(y+10)$ 的变形，让我对于2相关的 幂次很感兴趣

比较容易的得到了 $x\equiv 3\pmod{16}, y\equiv 0 \pmod{4}$ 或 $x\equiv -1\pmod{16}, y\equiv 2 \pmod{4}$

这对于知道答案的来说，的确已经可以暴力手动计算了，但对于不知道答案的来说，其实不知道自己会需要枚举多少个

来自math.stackexchange的提速方案

$x^3+101=y^2\pmod 9$

容易得到 $x\equiv 2 \pmod{3}$, 计算量也不大，因为$x$侧只用关心 $\mod 3$, $y$侧考虑$0\to8$

然后 考察

$x^3+101=y^2\pmod 8$

可以得到 $x\equiv 3\pmod{8}, y\equiv 0 \pmod{4}$ 或 $x\equiv -1\pmod{8}, y\equiv 2 \pmod{4}$

两者结合可以得到

$x\equiv -1 \pmod{24}, y \equiv 2 \pmod{4}$

$x\equiv 11 \pmod{24}, y \equiv 0 \pmod{4}$

$x=24a-1,y=4b+2$ 通过测试$\pmod{16}$可以得到$a$是偶数,$x=48c-1$, 再尝试$\pmod{32}$可以得到$x=96d-1$

$x=24a+11,y=4b$ 通过测试$\pmod{16}$可以得到$a$是奇数$x=48c+35$ ??TODO

相关

知乎 椭圆曲线的一些基础性质 陆zz

知乎

https://hr.userweb.mwn.de/numb/mordell.html

Travis Willse 大佬说 The following routine in Sage 的结果 看来只有 x=-1,和x=95两个解

Sayan Dutta 大佬说 这是 Mordell’s equation

http://alpha.math.uga.edu/%7Epete/4400MordellEquation.pdf

https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/gradnumthy/mordelleqn1.pdf

https://www.math.leidenuniv.nl/%7Eevertsejh//dio2011-diophantine.pdf

MIT 线性代数公开课

http://web.mit.edu/18.06

https://www.youtube.com/playlist?list=PLE7DDD91010BC51F8

https://ocw.mit.edu/courses/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/download/

魔方

不知道魔方公式的情况下,用数学解决魔方

有很多细则这里不一定提及(比如十三幺可以抢按杠,比如宝牌), 主要还是常见普适一点的内容

基础

他立任他立,我当他没立

ISBN 9787040364729

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定理

对于奇素数$p$有能被表示成$p = a^2+b^2$和$p = 4k+1$为充要条件

证明

一定不是$4k+3$

众所周知

$(4k+0)^2 \equiv 0 \pmod 4$

$(4k+1)^2 \equiv 1 \pmod 4$

$(4k+2)^2 \equiv 0 \pmod 4$

$(4k+3)^2 \equiv 1 \pmod 4$

所以

$a^2 + b^2 \not\equiv 3 \pmod 4$

那么有了充分, 如果$p = a^2+b^2$则一定$p = 4k+1$

$p=4k+1 \to p=a^2+b^2$

现在问题剩下就是如果 奇素数$p = 4k+1$, 如何证明它可以被表示成$a^2+b^2$

Euler’s proof by infinite descent

如果两个整数都能表示为两个平方数之和，则它们的积也能表示为两个平方数之和

Brahmagupta-Fibonacci Identity

$(a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2$

只有$ad=bc$ 时右侧有0的平方 , 也就是两个整数成$c^2/a^2$的倍数