4 复积分 Complex Integration

4.1 基本定理 Fundamental Theorems

解析函数的许多重要性质不用复积分是很难证明的。举例来说，不借助复积分或等价工具，要证明一个解析函数的导数是连续的，或证明高阶导数存在，仅在最近才成为可能。当前，至少可以说，不用积分的证明比经典证明要困难得多

• R. L. Plunkett 不用积分证明了导数的连续性（Bull. Am. Math. Soc. 65, 1959）。E. H. Connell 和 P. Porcelli 证明了所有导数的存在（Bull. Am. Math. Soc. 67, 1961）。这两个证明都依赖 G. T. Whyburn 的一个拓扑定理。

正像在实变量的情形中一样，我们仍区分开定积分和不定积分。不定积分是一个函数，它的导数等于一个域内的已知解析函数。在许多初等情形中，不定积分可以从已知求导公式的反演求得。定积分是在可微弧或分段可微弧上进行的，并不限于解析函数。它们可以用实积分定义中类似的极限法来定义。实际上，我们将应用实积分来定义复定积分。这就使我们可以不必重复作存在性的证明，因为它基本上和实变量的情形相同。读者应对实连续函数的定积分理论十分熟悉。

第3章 作为映射的解析函数 Analytic functions as mappings

函数 $w=f(z)$ 可以看成是一个映射，它把点 $z$ 用它的象 $w$ 表示。本章的目的是以初等方式研究解析函数所规定的映射的一些特殊性质。

为了实现这一计划，需要推导出一些具有普遍性的基础概念，否则势必被迫引入许多特定的定义，而它们之间的相互关系却是不易辨清的。由于现在的学生在早期阶段就接受抽象和普遍性的教育，所以无须多说。但是，提出这样的警告可能较为恰当，即最大程度的普遍性不应当成为目的

在3.1节，我们将介绍点集拓扑和度量空间的一些基础知识。由于我们只涉及研究解析函数所必需的一些基本性质，所以不需作更深入的讨论。如果读者认为自己已经完全熟悉了这部分内容，那就只需读一下专门术语就可以了。

作者认为：要熟练地研究解析函数，既需要几何直觉，又需要计算技巧。为此，在与3.1节仅有较少联系的3.2、3.3节中，特意通过详细研究一些初等映射来讨论几何直觉。同时我们将几何图像作为推理的指南而不是推理的基础，由此尝试培养严密的几何思维。

2. 复函数 complex functions

2.1 解析函数的概念 introduction to the concept of analytic function

只有解析analytic函数 或 全纯holomorphic函数可以自由的进行微分和积分

考虑

• 实变量 实函数
• 复变量 实函数
• 复变量 复函数
• 实变量 复函数

每个函数都定义在一个开集上

isbn

• 中文 9787111703365

• 英文 9787111701026

• 复数 complex numbers

  • 复数代数 the algebra of complex numbers
    • 算术运算 Arithmetric Operations
    • 平方根 Square Roots
    • 合理性 Justification
    • 共轭和绝对值 Conjugation, Absolute Value
    • 不等式 Inequalities
  • 复数的几何表示 the geometric representation of Complex Numbers
    • 几何加法和几何乘法 Geometric Addition and Multiplication
    • 二项方程 The Binomial Equation
    • 解析几何 Analytic Geometry
    • 球面表示 The Spherical Representation
  • TODO

前言

本书假定读者具备大学二年级的数学基础，可作为高等院校高年级本科生以及研究生的教材和参考书

• 术语尽可能与自然科学名词审定委员会 1933年公布的《数学名词》中保持一致

单复变量的标准基础教材

• 作者仍然坚信几何方法的基础作用，

Lebesgue理论 the lebesgue theory

在相当广泛的条件下证明某些关键定理，只有若干主干清醒做了简略的证明

集函数 set functions

如果A与B是任意两个集，我们把满足$x\in A,x\not \in B$的一切$x$的集合记作$A-B$, 这并不意味$B\subset A$, 用0表示空集，如果$A\cap B=0$就说A与B不相交交

11.1 定义 $\mathscr{R}$是由集构成的一个类，并且由$A\in \mathscr{R}$ 能推出$A\cup B\in \mathscr{R},A-B\in \mathscr{R}$

• 就称 $\mathscr{R}$是环 ring
  • 这个性质和 群环域 的 环 不一样！？！？？？
• 由于$A\cap B=A-(A-B)$, 所以当$\mathscr{R}$是环时，必然有$A\cap B\in \mathscr{R}$
• 如果一旦$A_n\in \mathscr{R}$
• 就有$\cup_{n=1}^{\infty} A_n\in \mathscr{R}$
• $\mathscr{R}$便叫做$\sigma-$环
  • 对可列无穷并封闭
• 由于$\cap_{n=1}^{\infty} A_n=A_1-\cup_{n=1}^{\infty} (A_1-A_n)$, 因而如果$\mathscr{R}$是$\sigma-$环，必然$\cap_{n=1}^{\infty} A_n\in \mathscr{R}$
  • 则对可列无穷交封闭

微分形式的积分 integration of differential forms

本章致力于积分理论中的欧几里得空间 的几何紧密相关的各方面，

积分 integration

10.1 定义设$I^k$是$R^k$中的k-方格, 它由满足 $a_i \le x_i \le b_i$的一切, $x=(x_1,\cdots,x_k)$组成

• $I^j$是$R^j$中的$j-$方格, 前j个不等式确定, $f$是$I^k$上的实连续函数
• $f=f_k$
  • $f_{k-1}(x_1,\cdots,x_{k-1})=\int_{a_k}^{b_k} f_k(x_1,\cdots,x_{k-1},x_k)d x_k$,
• $f_k$在$I^k$上的一致连续性表明$f_{k-1}$在$I^{k-1}$上连续
• 因此重复这样能得到$I^j$上的连续函数
• $f_{j-1}$是$f_j$关于$x_j$在$[a_j,b_j]上的积分$ 这样$k$步以后, 得到一个数$f_0$, 我们就把这个数叫做$f$在$I^k$上的积分，并写成下面这种形式$\int_{I^k} f(x) dx$或 $\int_{I^k}f$
• 感觉上可能与积分的顺序有关， 用$L(f)$表示一个顺序的积分结果$L’(f)$表示另一个顺序的积分结果

多元函数 functions of several variables

主要讨论 euclidean n-space $R^n$ 中

线性变换 linear transformations

9.1

• 向量空间vector space，加法封闭，scalar数乘封闭
• 线性组合linear combination，张成 生成span
  • 每一个 生成 是向量空间
• 线性无关independent, $\sum c_{i}x_{i}=0$可推出 所有$c_{i}=0$ （任一个不能被其它线性表出）
• 空间X 含有由r个向量，组成无关集，不含r+1个向量的无关集，X是r维， dim X = r
• X的一个无关子集 能 span X,那么 这个子集称作一个基
• {$e_1,\dots,e_{n}$称作$\mathbb{R}^n$的标准基 standard basis

一些特殊函数 some special functions

幂级数 power series

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n x^n$， 在0点展开

更一般 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n (x-a)^n$ 在a点展开

这些都称作解析函数 analytic functions

• 限制x实值，（不会遇到 3.39 收敛圆）而是面向收敛区间

8.1 假设对于 $|x| < R$级数$\sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n$收敛

• 令$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n, |x| < R$
• 那么 任意$\epsilon > 0$, $f(x)$在$[-R+\epsilon,R+\epsilon]$上一致收敛，在(-R,R)连续，可微，且
• $f’(x)=\sum_{n=1}^{\infty} nc_nx^{n-1}, |x|< R$
• 证明
  • $|c_nx^n|\le |c_n(R-\epsilon)^n|$
    • $\sum c_n(R-\epsilon)^n$ 绝对收l敛(3.39 收敛半径内绝对收敛)，由7.10（被值控制，值收敛，则一致收敛） $f_n$ 一致收敛
  • 根据收敛半径 $R$ 的定义，而导函数中$R=\sup \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{nc_n} =\sup \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{c_n}$ ，所以 幂级数 和 幂级数导数 的定义域相同
  • 幂级数导数在$[-R-\epsilon,R+\epsilon]$一致收敛，7.17(一致收敛与微分保持)，可证明 收敛到导数
  • 对于任意 $x<R$ 能找到$\epsilon$
  • 连续性 5.2 可微则连续
• 推论
  • $(-R,R)$内有任意阶的导数
  • 特别的$f^{(k)}(0)=k!c_k$
  • 注意的是 这里看上去 f 与 ($c_k$列) 构成一一对应关系，但这里有前提是0的邻域收敛，如果一个在邻域收敛但是任然任意阶可导的函数的反向是不能得到原函数的
    • $f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}, f(x)=0(当x=0)$ 它任意阶导系数为0
• 补充 在一个端点 例如x=R 如果也收敛，那么也连续

这类的东西好想画2x2的方格，每次都是“冂”形状的证明路径

函数序列与函数项级数 sequences and series of functions

这一章里 只限于讨论复值函数。

注意力：调换两个极限过程时出现的若干问题（when limit processes are interchanged）

主要问题的讨论 discussion of main problem

7.1, n=1,2, {$f_n$}是一个定义在集E上的函数序列，再假设${f_n(x)}$对于每个$x\in E$收敛，可由

• $f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)$确定一个函数f
• 称$f_n$在$E$上收敛,f是{$f_n$}的极限limit 或 极限函数limit function
• {$f_n$} converges to f pointwise on E, 在E上逐点收敛到f
• 类似的 $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x), x\in E$, 说f是 级数$\sum f_n$的和. f is called the sum of the series $\sum f_n$
• 那么研究什么呢，例如 连续性，可微性，可积 这些性质能否保持，导数的关系
  • 例如连续性:
    • 点连续 $\lim_{t\to x}f(t)=f(x)$
    • 是否保持连续性 $\lim_{t\to x}\lim_{n\to \infty}f_n(t)=?=\lim_{n\to\infty} \lim_{t \to x}f_n(t)$ 或者说这个次序是否影响结果

题目

$a,b \in\mathbb{Z}^+, ab+1|a^2+b^2$

证明$\frac{a^2+b^2}{ab+1}$是平方数