D. Slime and Biscuits

https://codeforces.com/contest/1349/problem/D

第i个人有 ai 个饼干,在所有饼干中等概率选1个饼干 并把这个饼干 等概率 给其他人

当一个人有所有饼干时,游戏停止

问 期望时间 mod 998244353

n 100‘000

$\sum a_i \in [1,300’000]$

2s

256mb

我的思路

真没想法

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题目

n张牌,正反两面都有数字,给初始序列。

一次操作交换相邻的两张牌并翻转这两张牌。

求问能否最后所有朝上的牌构成非减序列

2<= n<=18

题解

显然数值范围没意义,因为就算很大,离散一下也就最多36个

显然根据交换规则,把i放到j后,它的正反面是确定的

所以排列的状态数是n!,18的阶乘就不要想枚举了

这题的边界感觉也能很难想,所以有想过的一个骗分方向是迭代加深,但是估计只能骗分答案比较小,或者n比较小的点


有人贪心100%了?? 不知道腾讯出题的人在干嘛?这样明显一堆hack点的能100%,叫那些写状压的没满的怎么想


前置知识:冒泡排序操作数 = 逆序对个数。

这题目只看操作过程中坐标的变化,实际就是在进行冒泡排序,所以我们的步数也就是 最初顺序标号变成最后顺序标号的逆序对个数


状态设计[前i个,使用的元素的state,第i个用的是下标j]

注意到state用0/1来表示是否选择,1的个数就是i,所以可以省略为[state,j]

这个状态对应的值 dp[state,j]为 已经选出的元素的逆序对的最小值

转移方程为

dp[state][j] = min(dp[state 去掉 j][for剩余可选] + state剩余部分和j构成的逆序对)

注意到state内部顺序不影响state剩余部分 和 j构成的逆序对的值

= min(dp[state 去掉 j][for剩余可选]) + state剩余部分和j构成的逆序对

所以 一个状态的最小,是从去掉最后一个的最小来的

(感觉这里局部最优/最小性证明有点绕,或者可以用归纳证?

注意保证题目限制非减序列别忘了

Code

不是我写的,链接在下方,加了点注释

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作者:qin_peng
链接:https://www.nowcoder.com/discuss/417957?type=0&order=0&pos=77&page=1
来源:牛客网
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define me(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#define sc scanf
#define pr printf
#define IN freopen("in.txt","r",stdin);
#define OUT freopen("out.txt","w",stdout);
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int N=1e6+6;
const int mod=1e9+7;
int O(){putchar('\n');return 0;}template<typename T,typename... Ty>
int O(const T& a,const Ty&... b){cout<<a<<' ';return O(b...);}
void I(){}template<typename T,typename... Ty>void I(T& a,Ty&... b){cin>>a;I(b...);}
template<typename T>void db(T *bg,T *ed){while(bg!=ed)cout<<*bg++<<' ';pr("\n");}
inline ll mul_64(ll x,ll y,ll c){return (x*y-(ll)((long double)x/c*y)*c+c)%c;}
inline ll ksm(ll a,ll b,ll c){ll ans=1;for(;b;b>>=1,a=a*a%c)if(b&1)ans=ans*a%c;return ans;}
int n,a[20],b[20];
int dp[1<<20][20];
const int INF=1e9;
int main(){
I(n);
for(int i=0;i<n;i++)sc("%d",&a[i]);
for(int i=0;i<n;i++)sc("%d",&b[i]);
for(int i=1;i<n;i+=2)swap(a[i],b[i]);
for(int i=0;i<(1<<n);i++){
for(int j=0;j<n;j++){
dp[i][j]=INF; // 不可达
}
}
for(int i=0;i<n;i++)dp[1<<i][i]=0; // 选单个 逆序对为0
for(int i=0;i<(1<<n);i++){ // 保证子状态先于父状态计算
for(int j=0;j<n;j++){
if(dp[i][j]==INF)continue;
for(int k=0;k<n;k++){
if(i>>k&1)continue;
int x=__builtin_popcount(i)&1; // 内置计算1的个数
if(x){ // 非减 限制
if(b[k]<a[j])continue;
}else{
if(a[k]<b[j])continue;
}
int ans=0;
for(int l=k+1;l<n;l++){ // 计算 state补上k以后 state与k之间新形成的逆序对
if(i>>l&1)ans++;
}
dp[i|1<<k][k]=min(dp[i|1<<k][k],dp[i][j]+ans); // 递推感觉局部最小性有点奇怪?只有我?但是从上向下看是没问题的。所以逻辑一致没问题
}
}
}
int ans=INF;
for(int i=0;i<n;i++)ans=min(ans,dp[(1<<n)-1][i]);
if(ans==INF)O(-1);
else O(ans);
}

总结

很早看到18 就条件反射的想2的n次方

看到交换两个也想到了逆序对和冒泡

但没想出最后的状态以及转移,果然设计状态有点难啊,我好菜哇

大概技术总结的话应该是 除了最简单的状态,还有一种是[state][末尾选择],这样的话能保证性质就行,如这里的末尾选择就是用来保证 非减少的

C

https://codeforces.com/contest/1340/problem/C

状态设计

应该算bfs+dp?

状态设计 dist[第i个检查点][剩余步数j] = 到达的最小轮数 或 不可达

转移从数轴上看,只有左右关系相邻的两个点能在dist中转换,每个点最多被更新一次。

所以 O(nm)时间空间

注意的是 不能跨过g,每次转移前是j<g,转以后的j<=g

Code

托爷代码:https://codeforces.com/contest/1340/submission/77808028

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define MOD 1000000007
#define rep(i,a,n) for (int i=a;i<n;i++)
#define per(i,a,n) for (int i=n-1;i>=a;i--)
#define pb push_back
#define foreach(i, v) for (__typeof((v).begin()) i = (v).begin(); i != (v).end(); ++ i)
const double pi = acos(-1.0);

int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
int n, m;
cin >> n >> m;
vector<int> d(m);
for (int i = 0; i < m; i++) {
cin >> d[i];
}
sort(d.begin(), d.end());
int g, r;
cin >> g >> r;
// dist[0->m-1][0->g] = -1; 不可达
// dist[第i个停靠点][还要走j步为g的整数倍] = 最小的完整轮数
vector<vector<int>> dist(m, vector<int>(g + 1, -1));
dist[0][g] = 0; // 可达的轮数为0
vector<pair<int, int>> que;
que.emplace_back(0, g);
while (!que.empty()) {
// 步数少于等于g的广搜
for (int b = 0; b < (int) que.size(); b++) {
int i = que[b].first; // 位置
int j = que[b].second; // 剩余步数
if (i > 0) { //
int go = d[i] - d[i - 1];
if (j >= go) {
if (dist[i - 1][j - go] == -1) {
que.emplace_back(i - 1, j - go);
dist[i - 1][j - go] = dist[i][j];
}
}
}
if (i < m - 1) {
int go = d[i + 1] - d[i];
if (j >= go) {
if (dist[i + 1][j - go] == -1) {
que.emplace_back(i + 1, j - go);
dist[i + 1][j - go] = dist[i][j];
}
}
}
}
vector<pair<int, int>> new_que;
// 利用g表示 上一层节点,0表示新走到的节点, 产生新的一层
for (int b = 0; b < (int) que.size(); b++) {
int j = que[b].second;
if (j == 0) { // 新走道德合法点
int i = que[b].first;
if (dist[i][g] == -1) {
dist[i][g] = dist[i][0] + 1; // 轮次+1
new_que.emplace_back(i, g);
}
}
}
swap(que, new_que);
}
const long long inf = (long long) 1e18;
long long ans = inf;
for (int i = 0; i <= g; i++) {
if (dist[m - 1][i] != -1) { // 可达到 最后一个点一定是终点
long long cur = (long long) dist[m - 1][i] * (g + r) + (g - i); //计算总时间
ans = min(ans, cur);
}
}
cout << (ans == inf ? -1 : ans) << '\n';
return 0;
}

总结

还真是个大水题 放在1C

自己也在想dp,状态,还有dijs,看推有人还真的过了。

最终产物

输入一个原始字符串,产生一个自动机,能识别一个给的新字符串是否是原始字符串的后缀。

给一个初始State,每次接受一个字符,进行状态转移到新的State或失败

每个State有标记是否为后缀

详细内容建议直接看oi-wiki

本文是,理清一些东西,和一些举例

对于一个给定的原始字符串,它所产生的自动机

描述 自己设计符号
自动机的各个状态 State
一个字符 char
字符串 String
原始字符串的一个位置 Pos / typedef Pos int
自动机状态之间的转移边(接受一个字符) next(State st,char ch) -> State
状态的后缀链接 link(State st) -> State
字符串结尾位置 endposString(String s) -> Pos数组
状态结尾位置 endposState(State st) -> Pos数组
字符串对应的状态 str2State(String s)-> State
状态对应的字符串数组 state2St(State st)-> String数组

性质和证明思路(不是详细证明)

给定一个字符串s,endposString(s)表示这个字符串在原始字符串中出现的结尾位置的数组

定义State:

如果两个不同的字符串s1和s2,它们的 endposString输出的数组 完全相同,则它们属于同一个State,否则它们属于不同的State

因此每个字符串对应一个State,一个State对应一个数组的字符串。(也可以把State 看作一些字符串的集合)

如果不同字符串能够结尾位置相同,那么其中一个是另一个的后缀,所以一个State中的所有字符串两两成后缀关系

因此State中最短的字符串只要在原串的任意位置出现,则State最长的也出现,所以 长度介于最短和最长之间的必定出现

所以一个State包含的是 长度递增1的,相互为后缀的一系列数组

两个State之间,如果有重复的结束位置,那么对应位置各自的两个字符串 也一定是后缀关系。注意到上面结论 一个State包含的是一个递增一的连续整数区间。所以两个State之间的关系是 max(其中一个区间) < min(另一个区间)

也有了其中一个State的所有字符串是另一个区间的字符串的后缀,所以结束位置的关系一定是包含,(长的字符串出现的位置短的一定出现,长的字符串结束位置 包含于 短的)

如果两个State 的位置是包含关系,且其中一个State1最短字符串长度 + 1 = 另一个State2最长字符串长度,那么

link(State1) = State2, 说明State1 更短,State2更长和State1相邻

满足 link(State1)=State2 的所有state1 对应的endposState 两两交集为空,它们的并集 为 endposState(State2)

注意State会表示原始字符串子串所有能达到的状态,link以树的形式连接了所有State,从结束位置数组的角度看,每一个link分支都表示把数组拆分,数组中n个元素,所以总状态O(n)

准确点是<= 2n-1, 初始状态空字符串,包含所有n个下标, 每次拆分最多多出两个新集合, 最多n-1次拆分,所以最多1+2(n-1)=2n-1个节点

构建

在完全完成以前一直不会标记终止状态

每个State记录三个信息

  1. 所对应的字符串最长的长度
  2. 增加一个char以后转移到的目标状态
  3. 后缀关系link指向的相邻状态

具体构建过程看wiki 和下面代码及注释,这里讲一点自己的理解

首先这是一个“归纳”性质的构建过程,所以其实考虑的是 “对于字符串构建好的自动机,在该字符串右侧末尾增加一个字符所带来的变动”

以 abcbc为例

左是next,右侧是link, 蓝色空状态, 绿色终止条件

单独看link构成的树,考虑画一个完整的每个字符串一个节点的树和link做比较,你会发现link构成的树其实是把那些没有分支的节点的部分(存在单字符没有分叉但是单独的State)路径合并成一个节点了而已

所以从这个角度,考虑一个每个字符串一个节点的link树,新增一个字符 意味着增加了一串后缀的链到原来的树上,而接到原来的树上的位置可能是叶子/根/一个已经有分叉的节点,也可能是某个节点分叉出来。(一定不会完全重合,因为一个字符串一个节点,新增的全长字符串一定不在原始的link树中。 所以上面描述的情形再考虑缩成目标的state link树。

就会和wiki中描述的操作对应了理解。1.一定会增加一个新的节点。可能找不到和-1 state连接,也可能找到已有可用的“转移”,不在操作,也可能之前会合并成一个状态的点,现在因为多了分叉需要拆成两个,同时也能理解为什么是从last开始沿着link去找是否有 char的转移

例如考虑abcb => abcbc

原来链 c-bc-abc 是一个state

现在新插入链 c-bc-cbc-bcbc-abcbc

就会变成

  1. (c-bc)新拆出的state, 下面代码中qClone
  2. abc(修改老的c-bc-abc得到的state), 下面代码中q变化
  3. (cbc-bcbc-abcbc新增的state), 下面代码中newState

next维护理解

next 比link复杂一些,但是实际也是可以用上面的 link树来看

先考虑未进行合并的状态的影响,其实就是对所有last后缀 增加char建立边

考虑abcb=>abcbc

也就是要有边

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""->"c"
"b"->"bc"
"cb"->"cbc"
"bcb"->"bcbc"
"abcb"->"abcbc"

左侧出现的, 全在last的link链上

重复处理,例如”b”->”bc”其实已经有了,所以比它更短的也全有了,所以就能理解为什么wiki上的操作是last的link链上找到首个有char的边, 相当于从长到短找找最长的有的

原来link树上路径可合并的点 缩成一个state

两个有next关系的state意味着,其中一个state的所有字符串增加字符char后 的到字符串是 另一个state的子集

比如,这里之前是 state(“b”).next[“c”] = state(“bc”) == state(“c”,”bc”,”abc”)

但是 对于我们新增的state,不会有比它长的(“abc” 不期望的

但是next不像link,对结束位置并不友好,其意义是 选其中一部分下一位置是char的,在目标state中增加这些位置

但观察长度关系 也是有友好性。虽然说是集合,但是目标state中的每一个字符串 只有唯一的“上一个”字符串(也就是去掉最后一个字符的字符串),其对应的也就是唯一的state。

所以不同的相同的state中是没有重复元素的数组

next的作用就是把原来的字符串 下一个是char的部分抽出来,push到目标state的数组中

而注意到state是长度递增1的 后缀偏序数组

那么减去最后一个字符依然是长度递增1的 后缀偏序数组

state : [xxxxxxxx]c, 长度l->r

那么它的next来源

state : [xxxxxxxx], 长度l-1->len1-1,len1->len2-1,….,leni->r-1

每组就是一个state

所以如果wiki中描述的状态转移p->q 刚好最大长度差1,也就是 原来的划分很完美,只需要新建>=len(q)+1的

也就是说 原来的p->q 转移的划分是否和 期望的划分点一致。如果不一致就拆分

使用场景

很显然上面甚至连标记结束状态都没说,而实际上标记结束状态无非是给每个state多个字段,在完全构建以后,走一遍 link

其实这个自动机构建了以后,不只是简单的后缀判断,还能做很多字符串的事情

  1. 判断是否包含子串, 从root开始沿着next指针走
  2. 不同子串个数, 相当于不同路径数, dfs, 一个节点有 len(i) - len(link(i))个子串, luogu P3804
  3. 所有不同子串总长度, 同理, 在每个节点可以得到路径个数 和 对应长度 和 子串数量
  4. 字典序第k大子串, 就是字典序第k大的路径, 也可以后缀数组做
  5. 某个子串出现次数

见 wiki

Code

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
#define rep(i,a,n) for (int i=a;i<n;i++)

struct State {
State * link; // 后缀父状态 指向比它短的后缀状态
unordered_map<int, State *> next; // 状态转移, 指向string尾部增加int后得到的State
int maxLen; // maxlen in this state
State(int _maxLen):
link(NULL),maxLen(_maxLen){
next = {};
}
};

class SAM{
State *root , *lastState;
public:
SAM(){
root = lastState = new State(0);
}
void extend(int w){ // ???? => ????w
State *p = lastState;
State *newState = new State(p->maxLen + 1);
// find first p in lastState->link->link->link...->link
// satisfy p->next[w] exist
// let q = p->next[w]
// 找到有 w 转移的, 或者增加w转移
for(;p && !p->next[w];p=p->link) p->next[w] = newState;
for(;;){ // 降低层级
if(!p){ // 全部原来都没有w转移, 也就是 [...??w] 唯一存在
newState -> link = root;
break;
}
// state p + char w -> state q
State *q = p->next[w]; // 说明 [p w] 至少两处存在
if(p->maxLen+1 == q->maxLen){ // 单独状态
newState->link = q; // newState 一定比 q 长, q是比它短的最长后缀
break;
}
// clone q next & link
State * qClone = new State(p->maxLen+1); // 相当于从State q中拆出不大于p->next[w]转移的部分
qClone->next = q->next; // copy
qClone->link = q->link;
// change q & newState link
for(;p && p->next[w] == q;p=p->link) p->next[w] = qClone; // 更新所有单独
q->link = newState->link = qClone;
break;
}
lastState = newState;
}

bool has(string s){
State *p = root;
for(auto ch:s){
if(!p->next[ch])return false;
p = p->next[ch];
}
return true;
}
};

int main(){
auto sam = SAM();
string s = "aabab";
for(auto ch: s){
sam.extend(ch);
}
printf("%d\n",(int)sam.has("aba"));
return 0;
}

refs

https://oi-wiki.org/string/sam/

陈立杰 的 ppt

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/5026/E

字符串hash

遇到了无数遍了

来讲一种常见的字符串hash吧

首先给一个字符串s,假设它只有小写英文字母

根据万物皆是数的想法

我们可以把它每一位通过 s[i]-'a'变成数字

这样原字符串就变成了一个数列,因为全是字母

所以可以26为进制 sum((s[i]-'a')*26^i)的形式把原来的数变成大的整数

如果两个字符串相等,那么这个大整数,相等,否则大整数不等。

通过取mod可以让它比较可以操作,和支持更长的长度

变成sum((s[i]-'a')*26^i) %p的形式

当我们有一个字符串s0s1...sn

增删首尾都是 可以通过考虑计算大整数的方式去处理,预处理26的幂次模p即可

这样 长度为n的字符串的所有长度为m的连续子串的hash值,我们可以只用O(n)的时间就可完成

关于冲突

注意到上面的26是对于字母的情况,实际上,只要这个幂次的大于每一位上的最大值即可,所以考虑单个字符的最大ascii

可以变成 sum(s[i] * b^i) %p 的形式, b 取质数重要吗迷? 然后p取尽量大的质数就行

$Hash(S) = \sum_{i=0->n-1} s[i] * b^i \mod p$

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