YeXiaoRain Blog(hexo的搜索高亮会破坏latex)

https://atcoder.jp/contests/abc351

G - Hash on Tree

给定n点树有根数

值数组a[n]

f(u) = a[u] , 如果u是叶子

f(u) = a[u] + prod f(child of u)如果u非叶子

q次操作,每次 修改 a[pos]=val,每次修改后输出 f(1)

n,q 2e5

4s

1024mb

我的思路

首先这个是收到深度控制的,如果暴力的更新的话

那么一个想法是能否flat掉这个行为

[a,b,c]x[x,y,1] = [0,a*1+b*y,1]

leaf = [0,ai,1]

非叶子 = [ai,1,0]

然而没找到 矩阵方法或者满足“结合率”的东西

如果能有 矩阵或者结合律满足，就是个线段树维护，就好了

其中 上面的乘还可以拆成左右的包裹，总之如果有办法就好了

但是在尝试中发现要得到 a1+by 这种总是伴随秩的下降，没啥办法

第二个想的是上生成方程, 也没有弄出东西

那么最后就是 能否树的结构通过 轻重链 来完成快速计算(q log n)? 也没想到具体维护方法

https://codeforces.com/contest/1951

G Clacking Balls(2s,256mb)

1~m篮子 顺时针 环

n个球，第i个在 篮子ai中，每个篮子至多1个球

alice 可以进行1s操作

• [1,n]等概率 选i
• 如果 球已经不存在，则跳过（依然耗时）
• 如果 球存在，则沿着把球顺时针移动一个篮子，（如果目标篮子有球，把目标篮子中原来的球抛弃）

直到只剩下一个球停止，求操作时间的期望值 mod 1e9+7

n 3e5

n,m 1e9

我的思路

不能说没有想法，只能说一点想法也没有

如果一个球消失，那么说明有前面的球超过了它，换个角度 如果 球i移动 导致球j消失，也就是i走到j的位置，那么换成i消失是等价的后续，不影响概率

所以转换了题意的第三条（谁移动谁消失）以后

如果说 最后剩下的是 第i个球，那么这个球没有触碰下一个球，而前面的所有球触碰了后一个球

所以是个min/max 容斥+期望 吗？

计算每个球的 消失(触碰后面球)的期望次数，再min-max 容斥掉?

感觉也不对

再换个角度， 如果i留下

1

[i-1 ................i] .....

没啥想法，总的来说，显然直接状态描述肯定不行的，不论是点坐标还是距离

那么要么就是孤立每个 间隔的期望什么的，要么就是孤立的什么点期望，总之需要一个办法把其中 关联的东西拆掉，

而且不只如此，还有环

然后就是考虑简化的问题， 同样是环，但是只有两个点

那么 Exp(state) = Exp(点的距离)

然而转化构成了 一个转化矩阵

$A\lambda=\lambda$的形式，已知$A$要求$\lambda$

另一个是展开环到无限的数轴，指定目标点，那么得到每个点的移动方案数？

https://codeforces.com/contest/1942

E. Farm Game(2s,256mb)

在 区间[1,l]整数点上 放 ABABAB…或者BABABA… 一共n组AB或BA, 坐标不一定相邻

• 玩家X可以选择任意多个X(和玩家ID相同),和一个方向（左或右），把所有选中的A沿着这个方向移动
• A先B后
• 移动过程中字母不能重叠 不能出[1,l]范围，如果无法移动则输掉

问 给定$l,n$ 有多少个初始状态 玩家A获胜

我的思路

很像nim的游戏之类的

那么考虑 每个AB之间的空位的和，如果空位和为奇数，那么总可以移动那个位置让AB之间的空位和减1,而对于空位和是偶数，不一定能增大，也不一定能减少，但只要是能操作则结果也是奇数，

如果一轮操作后 空位和不变（否则变小），那么对应位置整体向同一个方向移动了两个字母

所以 获胜状态 = 所有AB间隔 空隙和=奇数

那么 l个位置 去掉 2n个占用位置，实际是切割成2n+1个 >=0 的段

也就是 l-2n长度线段切割成 2n+1个 >=0整数段 且 偶数index的段的长度和=奇数

考虑所有段+1

(l-2n)+(2n+1) 段 切割成 2n+1个 >=1 整数段,且偶数index的段的长度和 = 奇数+n

考虑 做顺序的置换，把所有偶数index段直接移动到最前，则方案还是一一对应

(l-2n)+(2n+1) 段 切割成 2n+1个 >=1 整数段,且前n段的长度和 = 奇数+n

1
2
3
4
5
6

for 前n段的长度和 = i:
 if i % 2 == (n+1) % 2:
  ans += (i 切割 n)段 * (l+1-i 切割成 n+1) 段, 每个切割段 >=1

长度 x 切割成y个>=1整数段，相当于 x-1个切割点中选择y-1个切割点
cut(x,y) = binom(x-1,y-1)

最后答案 AB和BA反向需要乘上2

然而 pretest1都没过 https://codeforces.com/contest/1942/submission/256178349

然后我发现读错题了，是 一次可以移动任意多个同方向，而不是一次一个

那么思路也完全一样，就是 去挤压另一个

所以 如果 存在 > 0 个奇数空位，则A 总能 把这些 奇数空位全变偶数（0个奇数空位）

如果 存在 0 个奇数空位，则全为偶数空位，则操作不确定，且操作后至少一个奇数空位

所以 方案 = 所有方案 - 全偶数空位方案

一样的

l-2n个位置切割2n+1个>=0整段，其中偶数index的长度全偶数

(l-2n)+(2n+1)=l+1个位置切割2n+1个>=1整段，其中偶数index的长度全奇数

l+1个位置切割2n+1个>=1整段，其中前n段的长度全奇数

1
2
3
4
5
6
7

for 前n段长度和为i, i % 2 = n * 1 % 2:
 把 前n段每个长度+1, 则 前半
  i+n长度 切割成 n 个 >= 2的偶数段 (那么每2个看成一个)
  (i+n)/2 长度 切割成 n 个 >= 1的整数段
  也就是 cut((i+n)/2,n)
 cnt += cut((i+n)/2,n)*cut(l+1-i,n+1)
  

ans = (binom(l,2n)-cnt)*2

https://codeforces.com/contest/1942/submission/256179100

https://atcoder.jp/contests/abc347

G - Grid Coloring 2

n * n

a[i][j] \in [0,5]

可以把0改为 1~5

所有操作后

代价=4临的差的平方和

求 最小代价的具体方案

n 20

2s

1024mb

我的思路

一个是插头dp 但是边界状态是 $5^n$

不知道怎么利用15,因为只关心差，可以变换成 `-22`但没感觉有什么帮助

有想网络流，但是不知道怎么表示 选与代价的关系。

$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$ 感觉就是这个2xy不知道怎么处理

https://codeforces.com/contest/1943

D1,D2 Counting Is Fun

如果数组 每次可以 选择连续长度大于1的区间 同时减去1,操作多次以后 所有值变为0,则该数组是好（good）数组

对于 长度n,值范围[0,k]的 $(1+k)^n$个数组有多少个是好数组 $\mod p$

n D1(400),D2(3000)

$\sum n^2$, D1(2e5),D2(1e7)

$k \le n$

$p\in[10^8,10^9]$ 是质数

3s

1024mb

我的思路

good的充要条件？

首先 两端 不大于a1

如果出现连续3个$a < b > c$

要$b-a\le c$ (b,c同时下降 直到b变为a)或$b-c\le a$ (a,b同时下降 直到b变为c)

都是$b\le a+c$

所以 如果good 一定满足 上面的 两端 和 单峰的条件

那么如果满足 两端 和 单峰条件

对于单峰从左到右, 下降，每个前面的不影响后面的，

因此 这个条件是充要

就dp吧

dp[i][x][y]= 前i-1个位置合法，第i-1个位置是x,后一个是y的方案数

从第二项开始

然后 ans = sum dp[n][>=x][x]

对于$x\le y$

dp[i+1][x][y] = sum dp[i][...][x]

对于$x > y$

dp[i+1][x][y] = (sum dp[i][t][x], x <= t+y )=sum dp[i][>=x-y][x]

所以

dp[i+1][x][y] = sum dp[i][>=x-y][x], 其中 dp[i][<0][x]=0

用 后缀和可以 均摊 O(1) 计算每个x,y

所以有一个 $n n^2$的方法，感觉能过D1, 然后D2 明显TLE

感觉就是需要再次优化效率，然而上面的似乎并不能nxn的矩阵的矩阵乘法

然而 并没有成功优化