Educational Codeforces Round 69

原题链接

2300分

大意

俄罗斯套娃，每个有内容半径in和外围半径out

in_i<out_i

如果 in_i >= out_j ,那么j可以放在i内

定义残留空间 = 一列嵌套的套娃 未使用的半径和 ,如 {1,2},{2,5},{7,9},未使用的白净和为(1-0)+(2-2)+(7-5) = 3

有效残留空间，如果 一列嵌套的套娃，还能从给出的套娃中选择一个加入这一列，那么原本的残留空间为无效值。如给{1,2},{2,3},{2,5},{7,9},只选择{1,2},{7,9}是无效的嵌套列，而选择{1,2},{2,3},{7,9}是有效的

令M = 最小的有效残留空间

求有效残留空间=M的方案数 % MOD

数据范围

套娃个数<= 200'000

半径<=1'000'000'000

MOD = 1'000'000'007

题解 翻译自官方题解

赛内我写了大概十多分钟没写出来,算法是想到n方的 但是没想到怎么优化到时间复杂度内

https://codeforces.com/blog/entry/68615

首先我们 把它们按照内半径排序in_i,

dp[i] = {x,y} 从末尾到第i个，最小的有效残留空间x, 这样的情况下的方案数 y

dp[i] = {in_i,1} 如果没有 能套在i外面的

如果有能套在i外面的j 那么

dp[i].x = min(d[j].x - (out_i-in_i)) = min(d[j].x) - (out_i-in_i)

我自己考虑漏的一点，假设 我们在尝试i了，那么min[d[ all j such in_j>=out_i ].x] 对于>=i 来说,一定是有效的,当时考虑漏了，在想怎么维护左右游标，来计算有效范围内的最小值

反证法

因为我们 要把i放在j内，如果不是有效的，

首先我们的dp定义保证了 不会插入其它在j以后

那么意味着，在i和j之间还能插入其它，假设为k

那么有d[k].x < d[j].x 和我们刚刚假设的min矛盾

综上

读入O(n)

排序O(n log n)

维护一个minx数组

每次计算dp[i] 二分>=out_i的坐标,计算完后更新minx 每次O(log n)

总共O(n log n)

代码 (Rust)

https://codeforces.com/contest/1197/submission/57928269

#![allow(unused_imports)]
use std::cmp::*;
use std::collections::*;
use std::ops::Bound::*;
 
struct Scanner {
   buffer : std::collections::VecDeque<String>
}
 
impl Scanner {
 
   fn new() -> Scanner {
      Scanner {
         buffer: std::collections::VecDeque::new()
      }
   }
 
   fn next<T : std::str::FromStr >(&mut self) -> T {
 
      if self.buffer.len() == 0 {
         let mut input = String::new();
         std::io::stdin().read_line(&mut input).ok();
         for word in input.split_whitespace() {
            self.buffer.push_back(word.to_string())
         }
      }
 
      let front = self.buffer.pop_front().unwrap();
      front.parse::<T>().ok().unwrap()
   }
}
 
fn main() {
    const MOD:i32 = 1_000_000_007;
    let mut s = Scanner::new();
    let n : usize = s.next();
    let mut arr:Vec<(i32,i32)> = Vec::new();
    for _i in 0..n {
        let out_i: i32 = s.next();
        let in_i: i32 = s.next();
        arr.push((in_i,out_i));
    }
    arr.sort();
    let mut minx:BTreeMap<i32,(i32,i32)> = BTreeMap::new(); // (in>=, (mincost,cnt))
    let mut ans:i32 = 0;
    for i in arr.iter().rev() {
        let out_i = i.1;
        let in_i = i.0;
 
        // 二分找到 >= out_i 的minx
        //
        let bin_res:(i32,i32) = match minx.range((Included(&out_i), Unbounded)).next() {
            Some(val) => *(val.1),
            None => (out_i,1)
        };
 
        let cost = (bin_res.0 - (out_i - in_i), bin_res.1);
        // 获取当前>=in_i 的 minx 如果没有则是 0
 
        let cur = match minx.range((Included(&in_i), Unbounded)).next() {
            Some(val) => *(val.1),
            None => (cost.0,0)
        };
 
        let count = minx.entry(in_i).or_insert(cur);
        if count.0 > cost.0 {
            ans = cost.1;
            (*count) = cost;
        } else if count.0 == cost.0 {
            (*count).1 += cost.1;
            (*count).1 %= MOD;
            ans = (*count).1;
        }
        // println!("{:?} {:?}", i , count);
    }
    println!("{}",ans );
}

总结

最近在看Rust，想说 这lower_bound 用range来写,写得我自闭,但是回过头来看

感觉用match比c++写 成lower_bound 再判断是否等于.end()更加清晰

再比如 下面

entry+or_insert这里

最开始我的两个if里分别时minx.insert和count操作，这样 连编译都通不过，因为一个变量不允许同时 两个mutable

此外 赞美一下 .0,.1相对于 c++中的 .first,.second或者说 get<0>(...),get<1>(...)

简洁而不失去意义