Möbius inversion formula

發表於 2019-01-06 更新於 2024-10-23 分類於 algorithm Disqus：文章字數： 877 所需閱讀時間 ≈ 3 分鐘

Möbius function

${\displaystyle \mu (n)=\delta _ {\omega (n)}^{\Omega (n)}\lambda (n)}$

${\displaystyle \delta }$ 是 Kronecker delta, λ(n) 是 Liouville 函数, ω(n) 是n的不同的质因数个数，Ω(n) 是质因子个数

定义

μ(n) = 0 如果n的质因子有幂次大于1的

μ(n) = 1 如果n由偶数个不同质数相乘

μ(n) = −1 如果n由奇数个不同质数相乘

性质

${\displaystyle \sum _ {d\mid n}\mu (d)={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1,\\0&{\text{if }}n>1.\end{cases}}}$

有的地方写作

$\mu * 1 = \epsilon$ 其中星号表示狄利克雷卷积,正好对应的是所求和的d都是n的因子

2023年新的证明

现在看了一些数论基础，认识到之前的证明方式不够系统，像是没学九九乘法表硬算乘法一样

系统一点学习(https://yexiaorain.github.io/Math/number_theory_2/),应该按照以下步骤:

数论函数定义与常见数论函数(I,u,mu)
Dirichlet卷积与广义Dirichlet卷积(结合率,交换率等)
可乘函数与完全可乘函数定义与性质

这样的化学完以后,其实就有了

$\mu * u = I$

$f * I = f$

$g = f * u$也就是所谓的莫比乌斯变换

$g * \mu = (f * u) * \mu = f * (\mu * u) = f * I = f$ 也就有了莫比乌斯反演

性质的证明

首先要μ(x) != 0

需要x的各个质因子次数恰好为1

假设n的所有质因子有t个,既 $n = p_1^{a_1} * p_2^{a_2}…p_t^{a_t}$

那么所有是n的因子的x 且$\mu(x) \neq 0$ 的x,则为这t个质因子的组合

注意到不包含平方数的 Möbius function也可以写成

$\mu(n) = (-1)^{t}$, 其中n不包含平方数,t为其质因子个数

${\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu (d) = \sum _ {k=0}^t {t \choose k}(-1)^{k} = (1-1)^t = 0 }$

证毕

积性函数

Möbius function 是积性函数!! 根据积性函数定义如果gcd(a,b) == 1 有 f(ab)=f(a)*f(b)

$\mu(ab) = \mu(a) \mu(b)$ ,当 a和b互质

wikipedia上,还有写些其它性质

不过和本文的关系不大,就没有 copy paste过来

Möbius inversion formula

如果 f和g都是算数函数,且

$g(n)=\sum_{d,\mid ,n}f(d)\quad\text{对所有整数 }n\ge 1$

g(n)表示它所有因子对应的f的和,所以一旦有题目F(x) = sum 所有f(y),y是x的因子，就可以联想到反演

那么有

${\displaystyle f(n)=\sum _{d,\mid ,n}\mu (d)g\left({\frac {n}{d}}\right)\quad {\text{对所有整数 }}n\geq 1}$

证明

${\displaystyle \sum _{n\mid x}\mu (n)g\left({\frac {x}{n}}\right)}$

${\displaystyle =\sum _{n\mid x}\mu (n)\sum _{m\mid {\frac {x}{n}}}f\left(m\right)}$

${\displaystyle=\sum _{m\mid x}f\left(m\right)\sum _{n\mid \frac{x}{m}}\mu (n)}$ (n能取到所有x的因子,m也能取到,且满足n,m其中一个确定时,另一个取值使得n*m为x的因子)

${\displaystyle=f(x)}$

见上面Möbius function的性质,也就是仅在m=x时右侧的sum 才不为0,且为1

实现

线性筛

const int maxn = 100000000;
int prime[maxn], tot, mu[maxn];
bool check[maxn];
void calmu(){
  mu[1] = 1;
  rep(i,2,maxn){
    if (!check[i]){
      prime[tot++] = i;
      mu[i] = -1;
    }
    rep(j,0,tot){
      if (i * prime[j] >= maxn) break;
      check[i * prime[j]] = true;
      if (i % prime[j] == 0){
        mu[i * prime[j]] = 0;
        break;
      }else
        mu[i * prime[j]] = -mu[i];
    }
  }
}