think-cell Round 1
https://codeforces.com/contest/1930
E. 2..3…4…. Wonderful! Wonderful!(3s,256mb)
a[i]=i
for k = 1..(n-1)/2:
输出 原序列 任意次操作(>=0) 后能得到的不同的序列的方案数 mod 998244353
每次操作选择2k+1个数(不需要连续),删掉被选中的里的左边k个和右边k个
n 1e6
2e3组测试
我的思路
容易想到 操作w次,那么就要删除2kw个
而 w \in [0,n/k]
所以sum(w) = O(n log n)
所以如果对于给定的(k,w)能够 常数时间或均摊常数时间求出来就好了
先不考虑时间限制
考虑被删除的 [k-1]个随便选
,中间的[2kw-(2k-1)]个不能全部连续
,[k-1]个随便选
必要性: 显然每个实际方案最后一次删除一定保证了最左k和最右侧k之间有未被删除的
充分性: 倒着恢复,如果满足,则可以让最后一次删除的一侧恢复到所有删除中的中间部分,归纳得证
这样就是容斥了 binom(n,2kw)
- 固定中间连续的方案
for 连续的一坨的 起点是i
$\sum_{i=k}^{n-(2kw-(k-1))+1} \binom{i-1}{k-1}\binom{n-(i+(2kw-(2k-1))-1)}{k-1}$
令$a=k-1$ 会发现是$\sum \binom{a+t}{a}\binom{b-t}{a}$
的形式
$=[x^{n-2kw}] (\sum_{i=0}^{\infty} \binom{a+i}{i}x^i)^2$
或者
$=\frac{1}{(a!)^2}[x^{n-2kw}] (\sum_{i=0}^{\infty} \frac{(a+i)!}{i!}x^i)^2$
然后这个的话, 对于给定的a也就是给定的k来说
可以一次性计算,这样子不同的w只需要取值一下就好了
但 如果 for k {ntt, for w}
的话, ntt的部分的总代价还是 (n^2logn)
不知道 这样能变成 什么函数 从而快速求得系数